A C. 1532. feladat (2019. március)

C. 1532. Mutassuk meg, hogy ha az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív számokra

\(\displaystyle a+b+c\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}, \)

akkor közülük valamelyik szám legalább 1.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először hozzuk közös nevezőre az egyenlőtlenség jobb oldalát:

\(\displaystyle a+b+c\geq\frac{c+a+b}{abc}.\)

Vegyük észre, hogy a bal oldal megegyezik a jobb oldali számlálóval, azaz abból, hogy ez az egyenlőtlenség fennáll (és \(\displaystyle a,b,c\) pozitívak), következik, hogy

\(\displaystyle abc \geq 1.\)

Ebből pedig következik, hogy legalább az egyik szám, nagyobb egyenlő 1-nél (hiszen \(\displaystyle a,b,c\) pozitívak).

Így megmutattuk, hogy a kiindulási egyenlőtlenségből következik, hogy valamelyik szám legalább 1.

Statisztika:

174 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	154 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai