A C. 1535. feladat (2019. március)

C. 1535. Bizonyítsuk be, hogy ha egy konvex négyszög területét mindkét átlója felezi, akkor ez a négyszög paralelogramma.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás.

Először nézzük a négy kis háromszöget, amiket a négyszög két csúcsa és az átlóinak $\displaystyle E$ metszéspontja alkot. Ezek területét jelölje rendre $\displaystyle T_a, T_b, T_c, T_d$ az alapján, hogy a négyszög mely oldala tartozik az adott kis háromszöghöz (például, az $\displaystyle ABE$ háromszög területe $\displaystyle T_a$).

Tudjuk, hogy a négyszög mindkét átlója felezi a négyszög területét, azaz

$\displaystyle T_a+T_d=T_b+T_c$

és

$\displaystyle T_a+T_b=T_c+T_d.$

Ha összeadjuk a két egyenletet adódik, hogy

$\displaystyle T_a=T_c.$

Ha pedig kivonjuk az elsőből a másodikat, akkor kapjuk, hogy

$\displaystyle T_b=T_d.$

Azaz a négyszögben a szemközti kis háromszögek területe egyenlő. Ebből következik, hogy

$\displaystyle T_{ABC}=T_a+T_b=T_a+T_d=T_{ABD}.$

Ennek a két háromszögnek közös az $\displaystyle AB$ oldala, így egyenlő a hozzá tartozó magasságuk, azaz $\displaystyle GC=FD$. Ezzel megmutattuk, hogy $\displaystyle AB \parallel CD$. Hasonlóan bizonyítható, hogy $\displaystyle BC \parallel DA$. Azaz a négyszögünk szemközti oldalai párhuzamosak, tehát valóban paralelogramma.

Statisztika:

152 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	96 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai