A C. 1535. feladat (2019. március)

C. 1535. Bizonyítsuk be, hogy ha egy konvex négyszög területét mindkét átlója felezi, akkor ez a négyszög paralelogramma.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás.

Először nézzük a négy kis háromszöget, amiket a négyszög két csúcsa és az átlóinak \(\displaystyle E\) metszéspontja alkot. Ezek területét jelölje rendre \(\displaystyle T_a, T_b, T_c, T_d\) az alapján, hogy a négyszög mely oldala tartozik az adott kis háromszöghöz (például, az \(\displaystyle ABE\) háromszög területe \(\displaystyle T_a\)).

Tudjuk, hogy a négyszög mindkét átlója felezi a négyszög területét, azaz

\(\displaystyle T_a+T_d=T_b+T_c\)

és

\(\displaystyle T_a+T_b=T_c+T_d.\)

Ha összeadjuk a két egyenletet adódik, hogy

\(\displaystyle T_a=T_c.\)

Ha pedig kivonjuk az elsőből a másodikat, akkor kapjuk, hogy

\(\displaystyle T_b=T_d.\)

Azaz a négyszögben a szemközti kis háromszögek területe egyenlő. Ebből következik, hogy

\(\displaystyle T_{ABC}=T_a+T_b=T_a+T_d=T_{ABD}.\)

Ennek a két háromszögnek közös az \(\displaystyle AB\) oldala, így egyenlő a hozzá tartozó magasságuk, azaz \(\displaystyle GC=FD\). Ezzel megmutattuk, hogy \(\displaystyle AB \parallel CD\). Hasonlóan bizonyítható, hogy \(\displaystyle BC \parallel DA\). Azaz a négyszögünk szemközti oldalai párhuzamosak, tehát valóban paralelogramma.

Statisztika:

152 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	96 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai