A C. 1537. feladat (2019. március)

C. 1537. A $\displaystyle 6$ egység sugarú $\displaystyle k_1$ kör és a $\displaystyle 3$ egység sugarú $\displaystyle k_2$ kör kívülről érintik egymást, valamint belülről érintik a 9 egység sugarú $\displaystyle k$ kört. A $\displaystyle k_1$ és $\displaystyle k_2$ egyik közös külső érintője a $\displaystyle k$ kört a $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ pontokban metszi. Határozzuk meg a $\displaystyle PQ$ szakasz hosszát.

(Horvát feladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a $\displaystyle k_1, k_2$ és $\displaystyle k$ kör középpontja rendre $\displaystyle O_1, O_2$ és $\displaystyle O$, sugara pedig $\displaystyle r_1, r_2$ és $\displaystyle r$. A középpontokból állítsunk merőlegest a $\displaystyle k_1$ és $\displaystyle k_2$ körök közös $\displaystyle f$ külső érintőjére, a talppontok legyenek (az ábrán látható módon) rendre $\displaystyle D, H, M$. Továbbá legyen $\displaystyle K$ a közös érintő és a középpontokat tartalmazó $\displaystyle h$ egyenes metszéspontja. (A körök helyzetéből adódik, hogy a három kör középpontja egy egyenesen van. Az $\displaystyle O_1O_2$ egyenes és $\displaystyle f$ metszik egymást, hiszen $\displaystyle r_1\ne r_2$.)

Tudjuk, hogy $\displaystyle r_1=6, r_2=3, O_1O_2=r_1+r_2=9$, valamint mivel $\displaystyle r=9$, így $\displaystyle OO_1=9-6=3$ és $\displaystyle OO_2=9-3=6$. Alkalmazzuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét a $\displaystyle h$ és $\displaystyle f$ által meghatározott szögre. Mivel $\displaystyle O_1D \parallel O_2H$, így

$\displaystyle \frac{KO_2}{KO_1}= \frac{O_2H}{O_1D},$

amiből $\displaystyle KO_1=KO_2+O_1O_2=KO_2+9$ alapján

$\displaystyle \frac{KO_2}{KO_2+9}= \frac{3}{6},$

vagyis

$\displaystyle KO_2=9.$

Most $\displaystyle OM$ és $\displaystyle O_2H$ párhuzamosságát kihasználva alkalmazzuk újra a párhuzamos szelőszakaszok tételét:

$\displaystyle \frac{KO_2}{KO}= \frac{O_2H}{OM},$

$\displaystyle \frac{9}{9+6}= \frac{3}{OM},$

$\displaystyle OM=5.$

Végül alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt a $\displaystyle PMO$ háromszögre:

$\displaystyle PM^2+OM^2=OP^2,$

ebből

$\displaystyle PM=\sqrt{9^2-5^2}=\sqrt{56}.$

Azaz a $\displaystyle PQ$ szakasz hossza szimmetriai okokból ($\displaystyle M$ a húr felezőpontja) $\displaystyle 2\sqrt{56}$ egység.

Statisztika:

42 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ajtai Boglárka, Debreczeni Tibor, Eölyűs Noel, Gál Bence, Hordós Adél Zita, Horváth 713 Alíz, Jankovits András, Kalabay László, Kardkovács Levente, Kis 194 Károly, Kubik Emese, Lezsák Domonkos, Majerusz Ádám, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nagy 202 Eszter , Német Franciska, Rozgonyi Gergely, Sal Dávid, Sebe Anna, Szabó 677 Balázs István, Székelyhidi Klára, Tóth Imre, Varga Ákos, Vlaszov Artúr, Wagner Dávid Barnabás.
4 pontot kapott:	Facskó Vince, Falvay Júlia, Ludányi Levente, Nyitrai Boglárka, Varga-Balázs Kristóf.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai