A C. 1539. feladat (2019. április)

C. 1539. Az $\displaystyle ABCD$ négyzet $\displaystyle AB$ oldalának $\displaystyle A$-hoz közelebbi negyedelőpontját jelölje $\displaystyle E$, $\displaystyle F$ pedig legyen a $\displaystyle BD$ átló tetszőleges pontja. Határozzuk meg az $\displaystyle AF+EF$ összeg minimumát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyük a négyzet oldalát egységnyinek: $\displaystyle AB=1$.

Először tükrözzük az $\displaystyle E$ pontot a négyzet $\displaystyle BD$ átlójára, képe legyen $\displaystyle E'$. Ekkor $\displaystyle E'$ rajta lesz a $\displaystyle BC$ oldalon (a $\displaystyle C$-hez közelebbi negyedelőpont lesz) és $\displaystyle FE=FE'$ (a tengelyes tükrözés tulajdonságai miatt), azaz a feledattal ekvivalens $\displaystyle AF+E'F$ összeg minimumát keresni.

Így az $\displaystyle AFE'$ töröttvonal hosszának minimumát keressük, és ez a töröttvonal akkor a legrövidebb, ha egyenes (a háromszög-egyenlőtlenség miatt), azaz az $\displaystyle A$, $\displaystyle F$ és $\displaystyle E'$ pontoknak egy egyenesen kell lennie. Ezek alapján a legjobb $\displaystyle F$ nem más, mint $\displaystyle AE'$-nek és $\displaystyle BD$-nek a metszéspontja (lásd a következő ábrán).

Ekkor a keresett $\displaystyle AF+E'F$ minimuma nem más mint az $\displaystyle AE'$ szakasz hossza. Ennek meghatározásához írjuk fel a Pitagorasz-tételt az $\displaystyle ABE'$ háromszögre:

$\displaystyle AE'= \sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}=\frac{5}{4}.$

Azaz az $\displaystyle AF+EF$ összeg minimuma $\displaystyle \frac{5}{4}$.

Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	56 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai