A C. 1543. feladat (2019. április)

C. 1543. Az \(\displaystyle n\) pozitív egész kitevő mely értékei esetén lesz \(\displaystyle 2^n+1\) vagy \(\displaystyle 2^n-1\) osztható 9-cel?

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle 2^n+1\) és \(\displaystyle 2^n-1\) egyszerre nem lehet 3-mal osztható (hiszen különbségük 2), így a szorzatuk pontosan akkor osztható 9-cel, ha valamelyik osztható 9-cel. Azaz a feladattal ekvivalens megvizsgálni, hogy \(\displaystyle (2^n+1) \cdot (2^n-1)\) mikor osztható 9-cel, azaz kérdés, hogy mely \(\displaystyle n\)-ekre lesz \(\displaystyle 4^n-1\) osztható 9-cel.

A 4-hatványok kilences maradéka rendre: \(\displaystyle 4, 7, 1, 4, 7, 1, 4, \dots\). Azaz periodikus a maradékok sorozata, 3 hosszú a periódus, és a háromféle maradék: 4, 7 és 1. Ebből látható, hogy pontosan akkor 1 a \(\displaystyle 4^n\) szám 9-es maradéka, ha \(\displaystyle n\) 3-mal osztható, és pontosan ilyenkor lesz \(\displaystyle 4^n-1\) osztható 9-cel.

Tehát 3-mal osztható \(\displaystyle n\) esetén lesz \(\displaystyle 2^n+1\) vagy \(\displaystyle 2^n-1\) osztható 9-cel.

Statisztika:

162 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andó Lujza, Bognár 171 András Károly, Dankó Orsolya, Debreczeni Dorina, Fekete András Albert, Fonyi Máté Sándor, Görcs András, Hajdú Bálint, Inokai Dávid, Kis 194 Károly, Molnár 410 István, Molnár Réka, Nagy 551 Levente, Nyitrai Boglárka, Országh Júlia, Páhán Anita Dalma, Riba Dániel, Rozgonyi Gergely, Sepsi Csombor Márton, Somogyi Dalma, Szanyi Attila, Téglás Panna, Valkai Máté, Williams Hajna, Zempléni Lilla.
4 pontot kapott:	50 versenyző.
3 pontot kapott:	29 versenyző.
2 pontot kapott:	30 versenyző.
1 pontot kapott:	18 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai