Problem C. 1549. (May 2019)
C. 1549. Let \(\displaystyle F\) be the midpoint of a line segment \(\displaystyle AB\), and let \(\displaystyle Z\) be an arbitrary point on line segment \(\displaystyle AF\). Draw a perpendicular to \(\displaystyle AB\) at \(\displaystyle F\), and mark a distance \(\displaystyle FX=FA\) on it. Draw another perpendicular to \(\displaystyle AB\) at \(\displaystyle B\), and mark a distance \(\displaystyle BY=AZ\) on it such that \(\displaystyle X\) and \(\displaystyle Y\) lie on the same side of line \(\displaystyle AB\). What may be the size of the angle \(\displaystyle XZY\)?
Proposed by L. Surányi, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on June 11, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Készítsünk ábrát geogebrában, hátha megsejtünk valamit. Az alábbi letölthető fájl egy geogebra fájl, melyben a \(\displaystyle Z\) pont mozgatható az \(\displaystyle AF\) szakaszon. Ez alapján az a sejtés, hogy a kérdéses szög értéke \(\displaystyle 45^{\circ}\), sőt, az is a sejtés része lehet, hogy az \(\displaystyle XYZ\) háromszög egyenlő szárú és derékszögű.
Bizonyítsuk be.
Ha a \(\displaystyle Z\) pont az \(\displaystyle A\) pontba esik, akkor az \(\displaystyle Y\) pont a \(\displaystyle B\) ponttal egyezik meg, és az \(\displaystyle XZY\) háromszög egyenlő szárú derékszögű háromszög, \(\displaystyle XZY\angle=45^{\circ}\).
Ha a \(\displaystyle Z\) pont az \(\displaystyle F\) pontba esik, akkor az \(\displaystyle XZBY\) négyszög négyzet, az \(\displaystyle XZY\) háromszög egyenlő szárú derékszögű háromszög, \(\displaystyle XZY\angle=45^{\circ}\).
Ha a \(\displaystyle Z\) pont máshol helyezkedik el, arra az esetre adunk két megoldást.
1. megoldás.
Feltehető, hogy \(\displaystyle AF=FB=FX=1\). Továbbá legyen \(\displaystyle AZ=z\neq1\), \(\displaystyle XZF \angle = \alpha\) és \(\displaystyle YZB \angle= \beta\). Ekkor a keresett szög \(\displaystyle XZY \angle = \alpha - \beta\). (Világos, hogy \(\displaystyle \beta\leq 45^\circ\leq \alpha\).)
Nézzük meg a szögek tangensét:
\(\displaystyle \tg \alpha = \frac{1}{1-z}\)
és
\(\displaystyle \tg \beta= \frac{z}{2-z}.\)
Most vizsgáljuk meg \(\displaystyle \alpha - \beta\) tangensét, használjuk az addiciós tételt, és írjuk be a fenti összefüggéseinket:
\(\displaystyle \tg (\alpha - \beta)= \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1+ \tg \alpha \tg \beta} = \frac{\frac{1}{1-z}-\frac{z}{2-z}}{1+\frac{z}{(1-z)(2-z)} }= \frac{(2-z)- z(1-z)}{(1-z)(2-z)+z}=\frac{z^2-2z+2}{z^2-2z+2}=1.\)
Azaz \(\displaystyle \tg XZY \angle=1\) és mivel \(\displaystyle XZY \angle\) hegyesszög, így \(\displaystyle XZY \angle= 45^\circ\).
Azaz a keresett \(\displaystyle XZY\) szög \(\displaystyle 45^\circ\).
Ha \(\displaystyle AZ=1\), akkor a \(\displaystyle Z\) pont megegyezik az \(\displaystyle F\) ponttal.
2. megoldás.
\(\displaystyle AFX\) és \(\displaystyle XFB\) egyenlő szárú derékszögű háromszögek, így \(\displaystyle AX=BX\) és \(\displaystyle XAF\angle=XBF\angle=45^{\circ}\). Ez utóbbiból \(\displaystyle XBY\angle=FBY\angle-XBF\angle=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}\).
Mivel \(\displaystyle AZ=BY\), \(\displaystyle AX=BX\) és \(\displaystyle XAZ\angle=XBY\angle(=45^{\circ})\), ezért az \(\displaystyle AZX\) és a \(\displaystyle BYX\) háromszögek egybevágóak. Emiatt \(\displaystyle XZ=XY\) és \(\displaystyle AXZ\angle=BXY\angle\) is teljesül.
Mivel \(\displaystyle AXB\angle=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}\), ezekből már következik, hogy \(\displaystyle ZXY\angle=ZXB\angle+BXY\angle=ZXB\angle+AXZ\angle=AXB\angle=90^{\circ}\). tehát az \(\displaystyle XYZ\) háromszög is egyenlő szárú és derékszögű, így \(\displaystyle XZY\angle=45^{\circ}\).
Statistics:
91 students sent a solution. 5 points: 62 students. 4 points: 11 students. 3 points: 3 students. 2 points: 1 student. 1 point: 2 students. 0 point: 11 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2019