A C. 1550. feladat (2019. május)

C. 1550. Oldjuk meg az

\(\displaystyle n\cdot(1!+2!+3!+\ldots+n!)=(n+1)! \)

egyenletet a pozitív egész számok halmazán.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Nézzük meg a bal oldalon levő utolsó két tag összegét:

\(\displaystyle n((n-1)!+n!)= n!+ n \cdot n!= (n+1)!,\)

azaz a bal oldalon levő utolsó két tag összege egyenlő a jobb oldallal. Mivel a bal oldalon minden összeadandó pozitív, ezért nem állhat az összeg 2-nél több tagból.

Ha \(\displaystyle n=2\), akkor mindkét oldal 6, azaz teljesül az egyenlőség, így ez megoldás.

Ha \(\displaystyle n=1\), akkor bal oldal kisebb, mint a jobb oldal.

Azaz egy megoldás van, \(\displaystyle n=2\).

Statisztika:

99 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	86 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai