A C. 1552. feladat (2019. május)

C. 1552. Bizonyítsuk be, hogy ha $\displaystyle 0<a<1$ és $\displaystyle 0<b<1$, akkor

$\displaystyle \log_a\frac{2ab}{a+b}\cdot\log_b\frac{2ab}{a+b}\ge 1.$

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Vezessük be az $\displaystyle A:= \frac{1}{a}$ és $\displaystyle B:= \frac{1}{b}$ jelöléseket. Ekkor $\displaystyle 1<A,B$ és $\displaystyle \frac{2ab}{a+b}=\frac{\frac{2}{AB}}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}}=\frac{2}{A+B}$. Írjuk fel a feladatban szereplő egyenlőtlenséget:

$\displaystyle \log_A \frac{2}{A+B} \cdot \log_B \frac{2}{A+B} \geq 1,$

hiszen az alapcserék egy-egy $\displaystyle -1$-es szorzót hoznak be. Továbbá ezzel ekvivalens a következő egyenlőtlenség (szintén két $\displaystyle -1$-es szorzó jön be):

$\displaystyle \log_A \frac{A+B}{2} \cdot \log_B \frac{A+B}{2} \geq 1.$

Most térjünk át közös alapra, és szorozzunk be a nevezőkkel:

$\displaystyle \frac{\ln \frac{A+B}{2}}{\ln A} \cdot \frac{ \ln \frac{A+B}{2}}{\ln B}\geq 1,$

$\displaystyle \ln \frac{A+B}{2} \cdot \ln \frac{A+B}{2} \geq \ln A \cdot \ln B,$

ahol $\displaystyle \ln$ a természetes alapú logaritmust jelöli. Vegyük mindkét oldal természetes alapú logaritmusát, ekkor kapjuk, hogy

$\displaystyle 2 \ln \ln \frac{A+B}{2} \geq \ln \ln A + \ln \ln B,$

azaz a bizonyítandó állítás ekvivalens a következő egyenlőtlenséggel:

$\displaystyle \ln \ln \frac{A+B}{2} \geq \frac {\ln \ln A + \ln \ln B}{2}.$

Ez pedig igaz, hiszen az $\displaystyle \ln x$ függvény konkávitását és monotonitását használva:

$\displaystyle \ln \ln \frac{A+B}{2} \geq \ln \frac{\ln A+\ln B}{2} \geq \frac {\ln \ln A + \ln \ln B}{2}.$

Tehát az igazolni kívánt egyenlőtlenség valóban teljesül.

Statisztika:

19 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ajtai Boglárka, Hordós Adél Zita, Kis 194 Károly, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nyitrai Boglárka, Szigeti Donát.
4 pontot kapott:	Gál Bence, Jankovits András, Tóth Imre.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai