A C. 1552. feladat (2019. május)

C. 1552. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle 0<a<1\) és \(\displaystyle 0<b<1\), akkor

\(\displaystyle \log_a\frac{2ab}{a+b}\cdot\log_b\frac{2ab}{a+b}\ge 1. \)

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Vezessük be az \(\displaystyle A:= \frac{1}{a}\) és \(\displaystyle B:= \frac{1}{b}\) jelöléseket. Ekkor \(\displaystyle 1<A,B\) és \(\displaystyle \frac{2ab}{a+b}=\frac{\frac{2}{AB}}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}}=\frac{2}{A+B}\). Írjuk fel a feladatban szereplő egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \log_A \frac{2}{A+B} \cdot \log_B \frac{2}{A+B} \geq 1,\)

hiszen az alapcserék egy-egy \(\displaystyle -1\)-es szorzót hoznak be. Továbbá ezzel ekvivalens a következő egyenlőtlenség (szintén két \(\displaystyle -1\)-es szorzó jön be):

\(\displaystyle \log_A \frac{A+B}{2} \cdot \log_B \frac{A+B}{2} \geq 1.\)

Most térjünk át közös alapra, és szorozzunk be a nevezőkkel:

\(\displaystyle \frac{\ln \frac{A+B}{2}}{\ln A} \cdot \frac{ \ln \frac{A+B}{2}}{\ln B}\geq 1,\)

\(\displaystyle \ln \frac{A+B}{2} \cdot \ln \frac{A+B}{2} \geq \ln A \cdot \ln B,\)

ahol \(\displaystyle \ln\) a természetes alapú logaritmust jelöli. Vegyük mindkét oldal természetes alapú logaritmusát, ekkor kapjuk, hogy

\(\displaystyle 2 \ln \ln \frac{A+B}{2} \geq \ln \ln A + \ln \ln B, \)

azaz a bizonyítandó állítás ekvivalens a következő egyenlőtlenséggel:

\(\displaystyle \ln \ln \frac{A+B}{2} \geq \frac {\ln \ln A + \ln \ln B}{2}. \)

Ez pedig igaz, hiszen az \(\displaystyle \ln x\) függvény konkávitását és monotonitását használva:

\(\displaystyle \ln \ln \frac{A+B}{2} \geq \ln \frac{\ln A+\ln B}{2} \geq \frac {\ln \ln A + \ln \ln B}{2}.\)

Tehát az igazolni kívánt egyenlőtlenség valóban teljesül.

Statisztika:

19 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ajtai Boglárka, Hordós Adél Zita, Kis 194 Károly, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nyitrai Boglárka, Szigeti Donát.
4 pontot kapott:	Gál Bence, Jankovits András, Tóth Imre.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai