 |
A C. 1555. feladat (2019. szeptember) |
C. 1555. Oldjuk meg a pozitív prímszámok körében az
\(\displaystyle x+y^2=4z^2 \)
egyenletet.
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Először alakítsuk át az egyenletet:
\(\displaystyle x=4z^2-y^2,\)
\(\displaystyle x=(2z-y)(2z+y).\)
Mivel \(\displaystyle x,y\) és \(\displaystyle z\) pozitív prímek, ezért \(\displaystyle 2z+y>2z-y\) és \(\displaystyle 2z-y=1\), valamint \(\displaystyle 2z+y=x\). (Különben \(\displaystyle 2z-y\) egy 1-től és \(\displaystyle x\)-től különböző pozitív osztója lenne \(\displaystyle x\)-nek, ami lehetetlen, hiszen \(\displaystyle x\) prímszám.) Ezt átrendezve kapjuk, hogy \(\displaystyle y=2z-1\) és \(\displaystyle x=2z+(2z-1)=4z-1\). Tehát az olyan \(\displaystyle z\) pozitív egész számokat keressük, melyekre a \(\displaystyle z, (y=)2z-1, (x=)4z-1\) számok mindegyike prímszám.
Vizsgáljuk meg a \(\displaystyle z\) szám 3-mal vett osztási maradékát:
1. eset: \(\displaystyle z\) 3-mal osztható
Ekkor mivel prím, így \(\displaystyle z=3\). Visszahelyettesítve \(\displaystyle y=5\) és \(\displaystyle x=11\), tehát ez a választás megfelelő.
2. eset: \(\displaystyle z\) 3-mal osztva 1 maradékot ad
Ekkor az \(\displaystyle x=4z-1\) szám 3-mal való osztási maradéka \(\displaystyle 4\cdot1-1=3\), vagyis 0, így \(\displaystyle x\) 3-mal osztható prím. Tehát \(\displaystyle x=3\), amiből \(\displaystyle z=1\) lenne. Ez ellentmondás, hiszen \(\displaystyle z\)-nek is prímnek kell lennie.
3. eset: \(\displaystyle z\) 3-mal osztva 2 maradékot ad
Ekkor az \(\displaystyle y=2z-1\) szám 3-mal való osztási maradéka \(\displaystyle 2\cdot2-1=3\), vagyis \(\displaystyle y\) 3-mal osztható prím. Tehát \(\displaystyle y=3\), amiből \(\displaystyle z=2\) és \(\displaystyle x=7\), amik valóban prímek, azaz megoldást adnak.
Az 1. és 3. esetből adódó megoldásokat visszahelyettesítve a kiindulási egyenletbe teljesül az egyenlőség. Tehát két megoldása van az egyenletnek: \(\displaystyle x=11, y=5, z=3\) és \(\displaystyle x=7, y=3, z=2\).
Statisztika:
275 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 98 versenyző. 4 pontot kapott: 26 versenyző. 3 pontot kapott: 37 versenyző. 2 pontot kapott: 49 versenyző. 1 pontot kapott: 47 versenyző. 0 pontot kapott: 16 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai