A C. 1567. feladat (2019. november)

C. 1567. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számpárok halmazán:

$\displaystyle 2x^2-4xy+4y^2-8x+16=0.$

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először írjuk fel a bal oldalt mint két teljes négyzet összege, ekkor az egyenletünk a következőképpen néz ki:

$\displaystyle (x-4)^2+(x-2y)^2=0.$

Bármely valós szám négyzete nemnegatív, így a bal oldalon két nemnegatív szám összege áll, ami csak úgy lehet 0, ha mindkét tag 0. Azaz $\displaystyle x-4=0$ és $\displaystyle x-2y=0$. Az elsőből kapjuk, hogy $\displaystyle x=4$, ezt a második egyenlőségbe behelyettesítve adódik, hogy $\displaystyle y=2$. Ezeket az értékeket a kiindulási egyenletbe visszahelyettesítve egyenlőséget kapunk.

Tehát az $\displaystyle x=4$ és $\displaystyle y=2$ számpár a megoldása az egyenletnek.

Statisztika:

229 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	177 versenyző.
4 pontot kapott:	25 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai