A C. 1568. feladat (2019. november)

C. 1568. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle D\), \(\displaystyle AC\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle E\), a \(\displaystyle DEB\) és \(\displaystyle DEC\) háromszögek körülírható köreinek középpontjai pedig rendre \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) (tegyük fel, hogy \(\displaystyle P\ne Q\)). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle PQ\) egyenes merőleges \(\displaystyle BC\)-re.

Javasolta: Hegedűs Dániel (Gyöngyös)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Bármely háromszög körülírható körének középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. Emiatt \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) is rajta van \(\displaystyle ED\) oldalfelező merőlegesén. Mivel \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) különböző pontok, és két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest, így a \(\displaystyle PQ\) egyenes nem más, mint \(\displaystyle ED\) oldalfelező merőlegese, azaz \(\displaystyle PQ\) merőleges \(\displaystyle ED\)-re.

Másrészt \(\displaystyle ED\) középvonal az \(\displaystyle ABC\) háromszögben, hiszen \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle D\) oldalfelező pontok. A középvonal tulajdonságai szerint \(\displaystyle ED\) párhuzamos \(\displaystyle BC\)-vel.

Azaz kaptuk, hogy \(\displaystyle PQ\) merőleges \(\displaystyle ED\)-re, \(\displaystyle ED\) párhuzamos \(\displaystyle BC\)-vel, így \(\displaystyle PQ\) merőleges \(\displaystyle BC\)-re is.

Statisztika:

141 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	104 versenyző.
4 pontot kapott:	27 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai