A C. 1568. feladat (2019. november)

C. 1568. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle AB$ oldalának felezőpontja $\displaystyle D$, $\displaystyle AC$ oldalának felezőpontja $\displaystyle E$, a $\displaystyle DEB$ és $\displaystyle DEC$ háromszögek körülírható köreinek középpontjai pedig rendre $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ (tegyük fel, hogy $\displaystyle P\ne Q$). Bizonyítsuk be, hogy a $\displaystyle PQ$ egyenes merőleges $\displaystyle BC$-re.

Javasolta: Hegedűs Dániel (Gyöngyös)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Bármely háromszög körülírható körének középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. Emiatt $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ is rajta van $\displaystyle ED$ oldalfelező merőlegesén. Mivel $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ különböző pontok, és két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest, így a $\displaystyle PQ$ egyenes nem más, mint $\displaystyle ED$ oldalfelező merőlegese, azaz $\displaystyle PQ$ merőleges $\displaystyle ED$-re.

Másrészt $\displaystyle ED$ középvonal az $\displaystyle ABC$ háromszögben, hiszen $\displaystyle E$ és $\displaystyle D$ oldalfelező pontok. A középvonal tulajdonságai szerint $\displaystyle ED$ párhuzamos $\displaystyle BC$-vel.

Azaz kaptuk, hogy $\displaystyle PQ$ merőleges $\displaystyle ED$-re, $\displaystyle ED$ párhuzamos $\displaystyle BC$-vel, így $\displaystyle PQ$ merőleges $\displaystyle BC$-re is.

Statisztika:

141 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	104 versenyző.
4 pontot kapott:	27 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai