A C. 1571. feladat (2019. november)

C. 1571. Egy $\displaystyle n\times n$-es táblázatba egymást követően beírjuk $\displaystyle 1$-től $\displaystyle n^2$-ig a pozitív egész számokat: az első sorba 1-től $\displaystyle n$-ig; a második sorba ($\displaystyle n+1$)-től $\displaystyle 2n$-ig; és így tovább. Bizonyítsuk be, hogy az egyik átlóban szereplő számok összege ugyanakkora, mint a másik átlóban.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Számoljuk ki az átlókban szereplő számok összegét, kezdjük a főátlóval. Itt az $\displaystyle 1, n+2, 2n+3, \dots, n^2$ számok szerepelnek, hiszen itt két egymást követő szám különbsége $\displaystyle n+1$. Ezek összege:

$\displaystyle 1+(n+2)+(2n+3)+\dots+n^2.$

Erre alkalmazva a számtani sorozat összegére vonatkozó összegképletet kapjuk, hogy a főátlóban a számok összege

$\displaystyle \frac{(n^2+1)\cdot n}{2}=\frac{n^3+n}{2}.$

Most térjünk rá a másik átlóra, itt az $\displaystyle n, 2n-1, 3n-2, \dots, (n-1)\cdot n+1$ számok állnak, hiszen itt két egymást követő szám különbsége $\displaystyle n-1$. Ezek összege:

$\displaystyle n+(2n-1)+(3n-2)+ \dots + (n^2-(n-1)).$

Erre alkalmazva a számtani sorozat összegére vonatkozó összegképletet kapjuk, hogy itt a számok összege

$\displaystyle \frac{(n^2+1)\cdot n}{2}= \frac{n^3+n}{2}.$

Tehát a két átlóban ugyanannyi a számok összege: $\displaystyle \frac{n^3+n}{2}$.

Statisztika:

239 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	115 versenyző.
4 pontot kapott:	70 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai