A C. 1571. feladat (2019. november)

C. 1571. Egy \(\displaystyle n\times n\)-es táblázatba egymást követően beírjuk \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle n^2\)-ig a pozitív egész számokat: az első sorba 1-től \(\displaystyle n\)-ig; a második sorba (\(\displaystyle n+1\))-től \(\displaystyle 2n\)-ig; és így tovább. Bizonyítsuk be, hogy az egyik átlóban szereplő számok összege ugyanakkora, mint a másik átlóban.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Számoljuk ki az átlókban szereplő számok összegét, kezdjük a főátlóval. Itt az \(\displaystyle 1, n+2, 2n+3, \dots, n^2 \) számok szerepelnek, hiszen itt két egymást követő szám különbsége \(\displaystyle n+1\). Ezek összege:

\(\displaystyle 1+(n+2)+(2n+3)+\dots+n^2.\)

Erre alkalmazva a számtani sorozat összegére vonatkozó összegképletet kapjuk, hogy a főátlóban a számok összege

\(\displaystyle \frac{(n^2+1)\cdot n}{2}=\frac{n^3+n}{2}.\)

Most térjünk rá a másik átlóra, itt az \(\displaystyle n, 2n-1, 3n-2, \dots, (n-1)\cdot n+1\) számok állnak, hiszen itt két egymást követő szám különbsége \(\displaystyle n-1\). Ezek összege:

\(\displaystyle n+(2n-1)+(3n-2)+ \dots + (n^2-(n-1)).\)

Erre alkalmazva a számtani sorozat összegére vonatkozó összegképletet kapjuk, hogy itt a számok összege

\(\displaystyle \frac{(n^2+1)\cdot n}{2}= \frac{n^3+n}{2}.\)

Tehát a két átlóban ugyanannyi a számok összege: \(\displaystyle \frac{n^3+n}{2}\).

Statisztika:

239 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	115 versenyző.
4 pontot kapott:	70 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai