A C. 1575. feladat (2019. december)

C. 1575. Határozzuk meg az összes olyan, \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) pozitív prímekből álló számpárt, amelyre \(\displaystyle 2pq+2p-q=q^2-8\).

Javasolta: Imre Tamás (Marosvásárhely)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először rendezzük át, majd alakítsuk szorzattá az egyenletünket:

\(\displaystyle (q+1)(q-2p)=8.\)

Mivel \(\displaystyle q\) egy pozitív prím (vagyis \(\displaystyle q\geq2\)) és \(\displaystyle q+1\) osztója a 8-nak, így \(\displaystyle q+1\) lehetséges értékei 4 és 8.

1. eset: \(\displaystyle q+1=4\)

Ekkor \(\displaystyle q=3\), ezt visszahelyettesítve az egyenletbe kapjuk, hogy \(\displaystyle p= \frac{1}{2}\), ami nem prím, így ebben az esetben nem kapunk megoldást.

2. eset: \(\displaystyle q+1=8\)

Ekkor \(\displaystyle q=7\), ezt visszahelyettesítve az egyenletbe kapjuk, hogy \(\displaystyle p= 3\). Ez megoldása a kiindulási egyenletnek, hiszen 3 és 7 pozitív prímek és kielegítik az egyenletet.

Azaz \(\displaystyle p=3,q=7\) számpár a(z egyetlen) megoldás.

Statisztika:

175 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	141 versenyző.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai