A C. 1575. feladat (2019. december)

C. 1575. Határozzuk meg az összes olyan, $\displaystyle p$, $\displaystyle q$ pozitív prímekből álló számpárt, amelyre $\displaystyle 2pq+2p-q=q^2-8$.

Javasolta: Imre Tamás (Marosvásárhely)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először rendezzük át, majd alakítsuk szorzattá az egyenletünket:

$\displaystyle (q+1)(q-2p)=8.$

Mivel $\displaystyle q$ egy pozitív prím (vagyis $\displaystyle q\geq2$) és $\displaystyle q+1$ osztója a 8-nak, így $\displaystyle q+1$ lehetséges értékei 4 és 8.

1. eset: $\displaystyle q+1=4$

Ekkor $\displaystyle q=3$, ezt visszahelyettesítve az egyenletbe kapjuk, hogy $\displaystyle p= \frac{1}{2}$, ami nem prím, így ebben az esetben nem kapunk megoldást.

2. eset: $\displaystyle q+1=8$

Ekkor $\displaystyle q=7$, ezt visszahelyettesítve az egyenletbe kapjuk, hogy $\displaystyle p= 3$. Ez megoldása a kiindulási egyenletnek, hiszen 3 és 7 pozitív prímek és kielegítik az egyenletet.

Azaz $\displaystyle p=3,q=7$ számpár a(z egyetlen) megoldás.

Statisztika:

175 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	141 versenyző.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai