 |
A C. 1576. feladat (2019. december) |
C. 1576. Adott az \(\displaystyle O\) középpontú, egységsugarú kör, valamint a \(\displaystyle P\) pont úgy, hogy \(\displaystyle OP=2\). Tekintsük az egyik \(\displaystyle P\)-n átmenő szelőt, ami a kört az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) pontokban metszi úgy, hogy az \(\displaystyle NP\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle M\). Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle OMN\) háromszög területe kisebb, mint \(\displaystyle \frac{1}{2}\).
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. Az \(\displaystyle OMN\) háromszög egyenlőszárú, hiszen \(\displaystyle OM=ON=1\). Legyen az \(\displaystyle O\)-ból induló magasságának talppontja \(\displaystyle T\). Ekkor \(\displaystyle TM=TN=MN/2.\)
A \(\displaystyle P\) pont a feladatban szereplő körre vonatkozó hatványa \(\displaystyle OP^2-1^2=3\), amivel egyenlő a szelőszakaszok hosszának szorzata, azaz
\(\displaystyle PM \cdot PN = 3.\)
Mivel \(\displaystyle M\) felezőpontja \(\displaystyle PN\)-nek, így \(\displaystyle 2PM=PN\), azaz
\(\displaystyle 2 PM^2=3.\)
Ebből \(\displaystyle PM=\sqrt{\frac{3}{2}}\), és így \(\displaystyle MN\) is \(\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}\).
Most számoljuk ki az \(\displaystyle OMN\) háromszög \(\displaystyle OT\) magasságát. Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt az \(\displaystyle OTM\) háromszögre:
\(\displaystyle OT= \sqrt{1^2-\left(\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{5}{8}}. \)
Ebből az \(\displaystyle OMN\) háromszög területe:
\(\displaystyle T= \frac{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{5}{8}}}{2}= \sqrt{\frac{15}{64}} < \frac{1}{2}.\)
2. megoldás. A feltétel szerint az \(\displaystyle ONP\) háromszögben \(\displaystyle OM\) súlyvonal, így az \(\displaystyle OMN\) háromszög területe fele az \(\displaystyle ONP\) háromszög területének. Az \(\displaystyle ONP\) háromszög területe pedig kisebb, mint 1, hiszen \(\displaystyle OP=2\) és a hozzá tartozó magasság kisebb 1-nél, a kör sugaránál. Ezen utóbbihoz elég megmutatni, hogy a \(\displaystyle PON\) szög nem lehet derékszög (a körvonalon lévő \(\displaystyle N\) pont csak így lehetne 1 távolságra a középponton átmenő \(\displaystyle OP\) egyenestől). Tegyük fel indirekten, hogy a \(\displaystyle PON\) szög derékszög. Ekkor a Thalész-tétel megfordítása szerint \(\displaystyle 1=MO=MN=MP\), amiből az \(\displaystyle OMP\) háromszögben \(\displaystyle OP=OM+MP\), ez pedig a háromszög-egyenlőtlenség miatt nem lehetséges.
Tehát \(\displaystyle OMN\) háromszög területe kisebb \(\displaystyle 1/2\)-nél.
Statisztika:
194 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 125 versenyző. 4 pontot kapott: 16 versenyző. 3 pontot kapott: 26 versenyző. 2 pontot kapott: 15 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai