A C. 1577. feladat (2019. december)

C. 1577. Egy növekvő, végtelen számtani sorozatról tudjuk, hogy közvetlen egymás utáni tagjai a tízes számrendszerbeli két, illetve háromjegyű

$\displaystyle \overline{ab},\;\overline{abc},\;\overline{cab}$

számok (a megadott sorrendben). Hány tagja van ennek a számsorozatnak 1552 és 2020 között?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Írjuk fel a számtani sorozat három tagját helyiértékek segítségével, valamint használjuk fel, hogy három szám pontosan akkor alkot számtani sorozatot, ha a két szélső összege egyenlő a középső tag kétszeresével:

$\displaystyle (10a+b)+(100c+10a+b)=2(100a+10b+c).$

Bontsuk fel a zárójeleket, és rendezzük át az egyenletet:

$\displaystyle 98c=180a+18b,$

majd osszuk le 2-vel az egyenletet, és emeljünk ki 9-et a jobb oldalon:

$\displaystyle 49c=9(10a+b).$

Azt kaptuk, hogy a jobb oldal osztható 9-cel. Ekkor a bal is, és mivel 49 prímtényezős felbontásában csak a 7 szerepel, így $\displaystyle c$-nek kell 9-cel oszthatónak lennie. Mivel $\displaystyle c$ egy számjegy, ez két esetben lehet: $\displaystyle c=0$ vagy $\displaystyle c=9$.

Ha $\displaystyle c=0$, akkor $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ is 0, és ekkor nem növekvő a számtani sorozat (és nem is két, illetve háromjegyű számokból áll), vagyis ez nem ad megoldást.

Így $\displaystyle c=9$, és ekkor 9-cel osztva az egyenletet kapjuk, hogy

$\displaystyle 49=10a+b,$

amiből az $\displaystyle a=4$ és $\displaystyle b=9$ megoldás adódik, hiszen $\displaystyle a,b$ számjegyek, vagyis $\displaystyle 49=10a+b=\overline{ab}$.

Tehát a számtani sorozat három megadott tagja: 49, 499 és 949. Így $\displaystyle d=450$. Ebből a sorozat következő néhány tagja: $\displaystyle 1399, 1849, 2299$. (Az ezután következő tagok mindegyike nagyobb 2020-nál, a 49 előtti tagok pedig kisebbek 49-nél és így 1552-nél is.)

Tehát a megadott számtani sorozatnak egy tagja esik 1552 és 2020 közé, éspedig az 1849.

Statisztika:

175 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	127 versenyző.
4 pontot kapott:	37 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai