A C. 1577. feladat (2019. december)

C. 1577. Egy növekvő, végtelen számtani sorozatról tudjuk, hogy közvetlen egymás utáni tagjai a tízes számrendszerbeli két, illetve háromjegyű

\(\displaystyle \overline{ab},\;\overline{abc},\;\overline{cab} \)

számok (a megadott sorrendben). Hány tagja van ennek a számsorozatnak 1552 és 2020 között?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Írjuk fel a számtani sorozat három tagját helyiértékek segítségével, valamint használjuk fel, hogy három szám pontosan akkor alkot számtani sorozatot, ha a két szélső összege egyenlő a középső tag kétszeresével:

\(\displaystyle (10a+b)+(100c+10a+b)=2(100a+10b+c).\)

Bontsuk fel a zárójeleket, és rendezzük át az egyenletet:

\(\displaystyle 98c=180a+18b,\)

majd osszuk le 2-vel az egyenletet, és emeljünk ki 9-et a jobb oldalon:

\(\displaystyle 49c=9(10a+b).\)

Azt kaptuk, hogy a jobb oldal osztható 9-cel. Ekkor a bal is, és mivel 49 prímtényezős felbontásában csak a 7 szerepel, így \(\displaystyle c\)-nek kell 9-cel oszthatónak lennie. Mivel \(\displaystyle c\) egy számjegy, ez két esetben lehet: \(\displaystyle c=0\) vagy \(\displaystyle c=9\).

Ha \(\displaystyle c=0\), akkor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) is 0, és ekkor nem növekvő a számtani sorozat (és nem is két, illetve háromjegyű számokból áll), vagyis ez nem ad megoldást.

Így \(\displaystyle c=9\), és ekkor 9-cel osztva az egyenletet kapjuk, hogy

\(\displaystyle 49=10a+b,\)

amiből az \(\displaystyle a=4\) és \(\displaystyle b=9\) megoldás adódik, hiszen \(\displaystyle a,b\) számjegyek, vagyis \(\displaystyle 49=10a+b=\overline{ab}\).

Tehát a számtani sorozat három megadott tagja: 49, 499 és 949. Így \(\displaystyle d=450\). Ebből a sorozat következő néhány tagja: \(\displaystyle 1399, 1849, 2299\). (Az ezután következő tagok mindegyike nagyobb 2020-nál, a 49 előtti tagok pedig kisebbek 49-nél és így 1552-nél is.)

Tehát a megadott számtani sorozatnak egy tagja esik 1552 és 2020 közé, éspedig az 1849.

Statisztika:

175 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	127 versenyző.
4 pontot kapott:	37 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai