A C. 1578. feladat (2019. december)

C. 1578. Két egybevágó téglalap úgy helyezkedik el, hogy a kerületük nyolc pontban metszi egymást. Mutassuk meg, hogy a két téglalap közös részének területe nagyobb a területük felénél.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A megoldás során a téglalap kétféle oldalhosszára rövidebb, illetve hosszabb oldalként fogunk hivatkozni. Megjegyezzük, hogy négyzetnél ugyanez az indoklás működik, nem használjuk sehol, hogy a téglalap két oldala különböző hosszúságú, azonban az egyszerűség kedvéért négyzet esetén is úgy hivatkozunk egy-egy oldalpárra, mint hosszabb, és egy-egy oldalpárra, mint rövidebb oldalak.

A két téglalap kerületének metszéspontjai legyenek rendre \(\displaystyle A, B, C, D, E, F, G, H\) (az ábra szerint). Kössük össze a hosszabb oldalak metszéspontjait (\(\displaystyle B\) és \(\displaystyle F\)), majd a rövidebbekét (\(\displaystyle D\) és \(\displaystyle H\)) az ábrán látható módon. Ezután \(\displaystyle B\)-ből állítsunk merőlegest mindkét hosszabb oldalra, ezek talppontja legyen \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\). Végül \(\displaystyle D\)-n át húzzunk párhuzamost \(\displaystyle BF\)-fel, legyen ez az egyenes \(\displaystyle f\).

Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle BF\) merőleges \(\displaystyle DH\)-ra. \(\displaystyle BPF\) és \(\displaystyle BQF\) háromszögek egybevágóak, mert egy oldaluk közös (\(\displaystyle BF\)), \(\displaystyle BP=BQ\) és a hosszabbikkal szemben levő szögük egyenlő (derékszög). Így az \(\displaystyle F\)-nél és a \(\displaystyle B\)-nél levő szöge is egyenlő a két háromszögnek. Tehát \(\displaystyle BF\) szögfelező a ,,hosszú oldalak metszéspontjánál'': felezi \(\displaystyle PFQ\) és \(\displaystyle PBQ\) szöget is. Ugyanígy belátható, hogy \(\displaystyle DH\) szögfelező a ,,rövidebbik oldalak metszéspontjánál'', azaz \(\displaystyle DH\) felezi \(\displaystyle CDE\) szöget.

Most térjünk át a \(\displaystyle D\) csúcshoz. Mivel \(\displaystyle CD\) egyenes párhuzamos \(\displaystyle BQ\)-val, \(\displaystyle ED\) pedig \(\displaystyle BP\)-vel, így \(\displaystyle f\) a definíciója miatt felezi az \(\displaystyle EDX\) szöget (ahol \(\displaystyle X\) az egyik téglalap ábrán látható csúcsa), azaz \(\displaystyle f\) a \(\displaystyle CDE\) szög külső szögének a szögfelezője, \(\displaystyle DH\) pedig a \(\displaystyle CDE\) szög szögfelezője, így \(\displaystyle DH\) és \(\displaystyle f\) merőlegesek egymásra. Azonban, mivel \(\displaystyle f\) párhuzamos \(\displaystyle BF\)-fel, így \(\displaystyle DH\) merőleges \(\displaystyle BF\)-re is. Ezzel bebizonyítottuk a segédállításunkat.

Most becsüljük alulról a két téglalap közös részének a területét a fentiek segítségével:

\(\displaystyle T_{ABCDEFGH} > T_{BDFH} = \frac12 \cdot BF \cdot DH \geq \frac12 \cdot T_{teglalap}.\)

Az első egyenlőtlenség teljesül, hisz a közös rész (szigorúan) tartalmazza \(\displaystyle BDFH\) négyszöget, utóbbinak területe fele az átlói szorzatának, mert azok merőlegesek egymásra. Végül \(\displaystyle BF\) és \(\displaystyle DH\) pedig nagyobb vagy egyenlő, mint a téglalapnak egy-egy oldala (\(\displaystyle BF\) legalább akkora, mint a rövidebb, \(\displaystyle DH\) legalább akkora, mint a hosszabb oldal), így teljesül az utolsó egyenlőtlenség is.

Tehát megmutattuk, hogy a közös rész területe nagyobb a kiindulási téglalapok területének felénél.

Statisztika:

76 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csilling Dániel, Csonka Illés, Feczkó Nóra, Fekete András Albert, Horváth Milán, Kadem Aziz, Koczkás Árpád, Ludvig Emese Ágota, Mócsy Mátyás, Somogyi Dalma, Trombitás Karolina Sarolta.
4 pontot kapott:	Arató Zita, Barát Benedek, Bogár-Szabó Mihály, Cserkuti Sándor, Halász Henrik, Károly Kinga, Kim 666 Levente, Kosóczki Balázs, Kovács Benedek Noel, Kurucz Kitti, Molnár Réka, Nagy 989 Lea, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Palencsár Enikő, Schäffer Donát, Schneider Anna, Szalanics Tamás, Székely Milán, Szittyai Anna, Varga Boldizsár, Viharos Márta Judit, Xu Yiling.
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai