A C. 1580. feladat (2019. december)

C. 1580. Bori véletlenszerűen elhelyez 10 pénzérmét egy sorban az asztalra. Egy lépésben mindig egyszerre két szomszédos érmét fordít át a másik oldalára. Mekkora annak a valószínűsége, hogy Bori nem tudja elérni, hogy valahány lépés után minden érmén a ,,fej'' legyen felül?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először vegyük észre, hogy ugyanannyi olyan érmesorozat van, ami páratlan sok fejet tartalmaz, mint ami páros sokat, mert az érmesorozatok párba állíthatók úgy, hogy minden párban az egyik sorozat páros, a másik páratlan sok fejet tartalmaz: egy adott érmesorozat párja az az érmesorozat, ami csak a legutolsó érmében tér el tőle.

Most nézzük meg, hogy egy lépésben hogyan változhat a fejek száma: Ha egy fejet és egy írást fordítunk át, akkor nem változik; ha két fejet, akkor 2-vel csökken; ha két írást, akkor 2-vel nő. Azaz a fejek száma 0-val, 2-vel vagy \(\displaystyle -2\)-vel változhat (nőhet), így ha a kiindulási állapotban páratlan sok fej volt, akkor nem érhető el olyan állapot, hogy mind a 10 érmén fej van felül. Ha a kiindulási állapot páros sok fejet tartalmaz, akkor például balról indulva, "mohón" elérhető a csupa fej sorozat: mindig a soron következő írást mutató érmét és a sorban rákövetkező vele szomszédos érmét átfordítjuk, egészen a 9. érméig. Így az első 9 érménken már a fej lesz fölfele. Továbbá, mivel a fejek számának paritása a fordítgatás során nem változik, ezért az utolsó, 10. érmén is fej van felül, hiszen összesen páros sok fejnek kell lennie.

Azaz a keresett valószínűség megegyezik annak a valószínűségével, hogy a kiindulási állapot páros sok fejet tartalmaz. Ez a valószínűség pedig 1/2, hiszen amint láttuk párba állíthatók a páros és páratlan sok fejet tartalmazó kiindulási állapotok.

Tehát 1/2 annak a valószínűsége, hogy Bori el tudja érni, hogy minden érme a fej oldalán legyen.

Statisztika:

62 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Abóczki Richárd Noel, Biró 424 Ádám, Fekete András Albert, Kadem Aziz, Kim 666 Levente, Kis 194 Károly, Kós Péter, Kosóczki Balázs, Nagy 009 Dávid, Oláh 492 Emese, Palencsár Enikő, Schneider Anna, Szigeti Donát.
4 pontot kapott:	Andó Lujza, Arató Zita, Gömbös Imola, Hajdú Bálint, Izsa Regina Mária, Kelemen Anna, Kulcsár Kevin, Lakatos Enikő, Ludányi Levente, Majerusz Ádám, Molnár Kristóf András, Ráduly Nóra Julianna, Sándor 111 Réka, Székelyhidi Klára, Trombitás Karolina Sarolta, Viharos Márta Judit.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai