Problem C. 1581. (January 2020)

C. 1581. Find all positive integers \(\displaystyle n\) for which \(\displaystyle n!\) ends in exactly \(\displaystyle 19\,531\) zeros.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ahhoz, hogy lássuk, hogy \(\displaystyle n!\) hány 0-ra végződik azt kell megnéznünk, hogy a 2 és az 5 milyen hatványon szerepel a prímtényezős felbontásában (,,egy 2-5 pár ad ki egy 0-t''). Legyen a prímtényezős felbontás

\(\displaystyle n!=2^{\alpha(n)}\cdot 5^{\beta(n)}\dots... \)

Ekkor

\(\displaystyle \alpha(n)=\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor+ \left\lfloor \frac{n}{2^2} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{2^3} \right\rfloor+... ,\)

hiszen az \(\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n\) szorzatban \(\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\) darab páros, \(\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2^2} \right\rfloor\) darab \(\displaystyle 2^2=4\)-gyel osztható, \(\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2^3} \right\rfloor\) darab \(\displaystyle 2^3=8\)-cal osztható tényező van, stb.

Ehhez hasonlóan

\(\displaystyle \beta(n)=\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor+ \left\lfloor \frac{n}{5^2} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{5^3} \right\rfloor+...\)

Mindkét összegben valahonnan kezdve az összes tag 0. Az utolsó nem 0 tag az \(\displaystyle n\)-nél nem nagyobb legnagyobb 2-hatványnál, illetve 5-hatványnál van. Látható, hogy \(\displaystyle \alpha \geq \beta,\) hiszen az \(\displaystyle \alpha\)-t adó összeg minden adott sorszámú tagja nagyobb, vagy egyenlő \(\displaystyle \beta\) megfelelő tagjánál.

Ezek alapján nézzük meg az 5-hatványok \(\displaystyle \beta\)-ját, hogy kiderítsük, \(\displaystyle n\) melyik kettő 5-hatvány közé esik:

\(\displaystyle \beta(5)=1,\)

\(\displaystyle \beta(5^2)=5+1=6,\)

\(\displaystyle \beta(5^3)=25+6=31,\)

\(\displaystyle \beta(5^4)=125+31=156,\)

\(\displaystyle \beta(5^5)=625+156=781,\)

\(\displaystyle \beta(5^6)=3125+781=3906,\)

\(\displaystyle \beta(5^7)=15625+3906=19531.\)

Azaz, ha \(\displaystyle n=5^7\), akkor \(\displaystyle n!=(5^7)!=78125!\) éppen 19531 darab 0-ra végződik. Természetesen az \(\displaystyle 5^7+1, 5^7+2, 5^7+3\) és \(\displaystyle 5^7+4\) számok \(\displaystyle \beta\)-ja is ennyi, azaz \(\displaystyle 5^7\leq n\leq 5^7+4\) esetén \(\displaystyle n!\) éppen 19531 darab 0-ra végződik. Ha \(\displaystyle n\) kisebb, mint \(\displaystyle 5^7\), akkor \(\displaystyle \beta\)-ja (legalább 7-tel) kisebb, mint 19531, tehát túl kevés 0-ra végződik. Ha \(\displaystyle n\) nagyobb vagy egyenlő, mint \(\displaystyle 5^7+5\), akkor pedig legalább 1-gyel több 0-ra végződik \(\displaystyle n!\).

Tehát \(\displaystyle n\) értéke a következők valamelyike lehet: \(\displaystyle 78125, 78126, 78127, 78128, 78129\).

Statistics:

151 students sent a solution.
5 points:	63 students.
4 points:	22 students.
3 points:	19 students.
2 points:	29 students.
1 point:	10 students.
0 point:	7 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2020