A C. 1581. feladat (2020. január)

C. 1581. Adjuk meg $\displaystyle n$ azon pozitív egész értékeit, amelyekre $\displaystyle n!$ pontosan $\displaystyle 19\,531$ darab $\displaystyle 0$-ra végződik.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ahhoz, hogy lássuk, hogy $\displaystyle n!$ hány 0-ra végződik azt kell megnéznünk, hogy a 2 és az 5 milyen hatványon szerepel a prímtényezős felbontásában (,,egy 2-5 pár ad ki egy 0-t''). Legyen a prímtényezős felbontás

$\displaystyle n!=2^{\alpha(n)}\cdot 5^{\beta(n)}\dots...$

Ekkor

$\displaystyle \alpha(n)=\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor+ \left\lfloor \frac{n}{2^2} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{2^3} \right\rfloor+... ,$

hiszen az $\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n$ szorzatban $\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor$ darab páros, $\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2^2} \right\rfloor$ darab $\displaystyle 2^2=4$-gyel osztható, $\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{2^3} \right\rfloor$ darab $\displaystyle 2^3=8$-cal osztható tényező van, stb.

Ehhez hasonlóan

$\displaystyle \beta(n)=\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor+ \left\lfloor \frac{n}{5^2} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{5^3} \right\rfloor+...$

Mindkét összegben valahonnan kezdve az összes tag 0. Az utolsó nem 0 tag az $\displaystyle n$-nél nem nagyobb legnagyobb 2-hatványnál, illetve 5-hatványnál van. Látható, hogy $\displaystyle \alpha \geq \beta,$ hiszen az $\displaystyle \alpha$-t adó összeg minden adott sorszámú tagja nagyobb, vagy egyenlő $\displaystyle \beta$ megfelelő tagjánál.

Ezek alapján nézzük meg az 5-hatványok $\displaystyle \beta$-ját, hogy kiderítsük, $\displaystyle n$ melyik kettő 5-hatvány közé esik:

$\displaystyle \beta(5)=1,$

$\displaystyle \beta(5^2)=5+1=6,$

$\displaystyle \beta(5^3)=25+6=31,$

$\displaystyle \beta(5^4)=125+31=156,$

$\displaystyle \beta(5^5)=625+156=781,$

$\displaystyle \beta(5^6)=3125+781=3906,$

$\displaystyle \beta(5^7)=15625+3906=19531.$

Azaz, ha $\displaystyle n=5^7$, akkor $\displaystyle n!=(5^7)!=78125!$ éppen 19531 darab 0-ra végződik. Természetesen az $\displaystyle 5^7+1, 5^7+2, 5^7+3$ és $\displaystyle 5^7+4$ számok $\displaystyle \beta$-ja is ennyi, azaz $\displaystyle 5^7\leq n\leq 5^7+4$ esetén $\displaystyle n!$ éppen 19531 darab 0-ra végződik. Ha $\displaystyle n$ kisebb, mint $\displaystyle 5^7$, akkor $\displaystyle \beta$-ja (legalább 7-tel) kisebb, mint 19531, tehát túl kevés 0-ra végződik. Ha $\displaystyle n$ nagyobb vagy egyenlő, mint $\displaystyle 5^7+5$, akkor pedig legalább 1-gyel több 0-ra végződik $\displaystyle n!$.

Tehát $\displaystyle n$ értéke a következők valamelyike lehet: $\displaystyle 78125, 78126, 78127, 78128, 78129$.

Statisztika:

151 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	63 versenyző.
4 pontot kapott:	22 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	29 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. januári matematika feladatai