 |
A C. 1583. feladat (2020. január) |
C. 1583. Ábrázoljuk a derékszögű koordinátarendszerben azokat a pontokat, melyeknek koordinátái kielégítik az alábbi egyenlőtlenséget:
|x|+|y|+|x+y|≤2.
Mekkora területű síkidomot kaptunk?
(Horvát feladat)
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Először jegyezzük meg, hogy az abszolútértékek miatt az ábra középpontosan szimmetrikus lesz az origóra (ha egy (x,y) pont eleme a ponthalmaznak, akkor a (−x,−y) pont is eleme), azaz elég megnézni az I. és II. síknegyedbeli ábrázolását, és onnan már adódik a teljes ábra.
I. síknegyed, azaz x,y≥0
Ekkor az abszolútértékjelek elhagyása, majd 2-vel való osztás után a következő egyenlőtlenséget kapjuk:
x+y≤1.
Az x+y=1 egyenlőséget kielégítő pontok az I. síknegyedben az (1,0) és (0,1) pontokat összekötő szakasz pontjai, a megfelelő pontok tehát ezen szakasz ,,alatt'' helyezkednek el.
II. síknegyed, azaz x≤0 és y≥0
Ekkor az egyenlőtlenségünk a következő alakban írható:
−x+y+|x+y|≤2.
Ha x+y>0, akkor −x+y+x+y≤2, vagyis y>−x és y≤1 – az y=−x egyenes ,,feletti" és az y=1 egyenes ,,alatti" pontok, melyek egy derékszögű háromszöget alkotnak; ha pedig x+y≤0, akkor −x+y−x−y≤2, vagyis y≤−x és x≥−1 – az y=−x egyenes ,,alatti" és az x=1 egyenestől ,,jobbra" lévő pontok, melyek szintén egy derékszögű háromszöget alkotnak. A két ponthalmaz együtt egy négyzetet határoz meg.
Ezek alapján ábrázoljuk derékszögű koordinátarendszerben a keresett pontokat:
Tehát az ábrán látható hatszög pontjai elégítik ki az adott egyenlőtlenséget. Ez két egységterületű négyzetből és két fél egység területű háromszögből áll, azaz a területe 3.
A kapott síkidom területe 3.
Statisztika:
189 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 92 versenyző. 4 pontot kapott: 13 versenyző. 3 pontot kapott: 26 versenyző. 2 pontot kapott: 23 versenyző. 1 pontot kapott: 21 versenyző. 0 pontot kapott: 13 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2020. januári matematika feladatai
|
|