 |
A C. 1583. feladat (2020. január) |
C. 1583. Ábrázoljuk a derékszögű koordinátarendszerben azokat a pontokat, melyeknek koordinátái kielégítik az alábbi egyenlőtlenséget:
\(\displaystyle |x|+|y|+|x+y|\le 2. \)
Mekkora területű síkidomot kaptunk?
(Horvát feladat)
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Először jegyezzük meg, hogy az abszolútértékek miatt az ábra középpontosan szimmetrikus lesz az origóra (ha egy \(\displaystyle (x,y)\) pont eleme a ponthalmaznak, akkor a \(\displaystyle (-x,-y)\) pont is eleme), azaz elég megnézni az I. és II. síknegyedbeli ábrázolását, és onnan már adódik a teljes ábra.
I. síknegyed, azaz \(\displaystyle x,y \geq 0\)
Ekkor az abszolútértékjelek elhagyása, majd 2-vel való osztás után a következő egyenlőtlenséget kapjuk:
\(\displaystyle x+y \leq 1.\)
Az \(\displaystyle x+y=1\) egyenlőséget kielégítő pontok az I. síknegyedben az \(\displaystyle (1,0)\) és \(\displaystyle (0,1)\) pontokat összekötő szakasz pontjai, a megfelelő pontok tehát ezen szakasz ,,alatt'' helyezkednek el.
II. síknegyed, azaz \(\displaystyle x \leq 0\) és \(\displaystyle y\geq 0\)
Ekkor az egyenlőtlenségünk a következő alakban írható:
\(\displaystyle -x+y+|x+y| \leq 2.\)
Ha \(\displaystyle x+y>0\), akkor \(\displaystyle -x+y+x+y \leq 2\), vagyis \(\displaystyle y>-x\) és \(\displaystyle y\leq1\) – az \(\displaystyle y=-x\) egyenes ,,feletti" és az \(\displaystyle y=1\) egyenes ,,alatti" pontok, melyek egy derékszögű háromszöget alkotnak; ha pedig \(\displaystyle x+y\leq0\), akkor \(\displaystyle -x+y-x-y \leq 2\), vagyis \(\displaystyle y\leq-x\) és \(\displaystyle x\geq-1\) – az \(\displaystyle y=-x\) egyenes ,,alatti" és az \(\displaystyle x=1\) egyenestől ,,jobbra" lévő pontok, melyek szintén egy derékszögű háromszöget alkotnak. A két ponthalmaz együtt egy négyzetet határoz meg.
Ezek alapján ábrázoljuk derékszögű koordinátarendszerben a keresett pontokat:
Tehát az ábrán látható hatszög pontjai elégítik ki az adott egyenlőtlenséget. Ez két egységterületű négyzetből és két fél egység területű háromszögből áll, azaz a területe 3.
A kapott síkidom területe 3.
Statisztika:
189 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 92 versenyző. 4 pontot kapott: 13 versenyző. 3 pontot kapott: 26 versenyző. 2 pontot kapott: 23 versenyző. 1 pontot kapott: 21 versenyző. 0 pontot kapott: 13 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2020. januári matematika feladatai