A C. 1585. feladat (2020. január)

C. 1585. Melyek azok a $\displaystyle p$ és $\displaystyle q$ egymástól különböző pozitív prímszámok, melyekre $\displaystyle p-4p^2+p^3=q-4q^2+q^3$?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Rendezzük az egyenletet:

$\displaystyle 0=q^3-p^3+4p^2-4q^2+q-p,$

majd alakítsuk szorzattá a jobb oldalon látható kifejezést:

$\displaystyle (q-p)[(q^2+qp+p^2)-(4p+4q)+1].$

Osszunk le $\displaystyle (q-p)$-vel (megtehetjük, hiszen $\displaystyle q-p \neq 0$, mert $\displaystyle p,q$ különböző):

$\displaystyle 0=q^2-4q+p^2-4p+qp+1,$

ezt tovább alakítva

$\displaystyle 7-qp=(q-2)^2+(p-2)^2.$

A jobb oldalon álló összeg minden tagja nemnegatív, hiszen bármely szám négyzete nemnegatív. Mivel a bal oldalon $\displaystyle 7-pq$ áll, ezért $\displaystyle pq$ értéke legfeljebb 7. Tudjuk, hogy $\displaystyle p,q$ különböző pozitív prímek. Mivel $\displaystyle 2\cdot3=6$, de bármely más $\displaystyle p,q$ érték esetén $\displaystyle pq\geq2\cdot5=10>7$, ezért ebből csak két megoldás lehetséges: $\displaystyle p=2$ és $\displaystyle q=3$ vagy $\displaystyle p=3$ és $\displaystyle q=2$. Ezeket az értékeket visszahelyettesítve a kiindulási egyenletbe egyenlőséget kapunk, tehát ezek valóban megoldások.

Vagyis két megoldás van: $\displaystyle p=2,q=3$ és $\displaystyle p=3,q=2$.

Statisztika:

214 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	86 versenyző.
4 pontot kapott:	57 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.

A KöMaL 2020. januári matematika feladatai