A C. 1586. feladat (2020. január)

C. 1586. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle AB$ oldalának harmadolópontjai $\displaystyle D$ és $\displaystyle E$. A $\displaystyle DE$ szakasz egy tetszőleges belső pontja $\displaystyle P$. Húzzunk párhuzamost a $\displaystyle PC$ egyenessel a $\displaystyle D$, illetve $\displaystyle E$ pontokon keresztül. Ezek az egyenesek az $\displaystyle AC$ és $\displaystyle BC$ oldalakat rendre a $\displaystyle Q$ és $\displaystyle R$ pontokban metszik.

Mutassuk meg, hogy a $\displaystyle PRCQ$ négyszög területe az $\displaystyle APQ$ háromszög területével egyenlő nagyságú.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás.

Az ábrán látható módon kössük össze $\displaystyle Q$-t és $\displaystyle R$-t $\displaystyle P$-vel.

A $\displaystyle CD$ és $\displaystyle CE$ egyenesek a háromszöget három egyenlő területű részre osztják, mert az $\displaystyle ADC$, $\displaystyle DEC$ és $\displaystyle EBC$ háromszögeknek a $\displaystyle C$ csúcshoz tartozó magassága közös, és az $\displaystyle AD$, $\displaystyle DE$, $\displaystyle EB$ alapok egyenlő hosszúak.

A $\displaystyle PCQ$ háromszög területe egyenlő a $\displaystyle PCD$ háromszög területével, hiszen a két háromszögnek a $\displaystyle PC$ oldalhoz tartozó magassága $\displaystyle PC$ és $\displaystyle DQ$ párhuzamossága miatt egyenlő.

Hasonlóan láthatjuk be, hogy a $\displaystyle PCR$ háromszög területe egyenlő a $\displaystyle PCE$ háromszög területével. Ez pedig azt jelenti, hogy

$\displaystyle T_{PRCQ}=T_{PCQ}+T_{PCR}=T_{PCD}+T_{PCE}=T_{DEC}=T_{ABC}/3.$

Megmutatjuk, hogy $\displaystyle T_{APQ}$ is harmadrésze az $\displaystyle ABC$ háromszög területének. Ugyancsak $\displaystyle PC$ és $\displaystyle DQ$ párhuzamossága miatt a $\displaystyle DCQ$ és $\displaystyle DPQ$ háromszögek területe egyenlő, ezért

$\displaystyle T_{ABC}/3=T_{ADC}=T_{DCQ}+T_{ADQ}=T_{DPQ}+T_{ADQ}=T_{APQ}.$

Beláttuk, hogy az $\displaystyle APQ$ háromszög területe is az $\displaystyle ABC$ háromszög területének harmadrésze.

Tehát a $\displaystyle PRCQ$ négyszög területe valóban egyenlő az $\displaystyle APQ$ háromszög területével.

Statisztika:

27 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Féger Tamás, Hajdú Bálint, Kadem Aziz, Kalabay László, Kis 194 Károly, Molnár Réka, Sümegi Géza.
4 pontot kapott:	Andó Lujza, Biró 424 Ádám, Fekete András Albert, Kelemen Anna, Lakatos Enikő, Ludányi Levente, Molnár Kristóf András, Palencsár Enikő, Schneider Anna, Szabó Csege, Szigeti Donát, Zaránd Andris.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. januári matematika feladatai