 |
A C. 1586. feladat (2020. január) |
C. 1586. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalának harmadolópontjai \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\). A \(\displaystyle DE\) szakasz egy tetszőleges belső pontja \(\displaystyle P\). Húzzunk párhuzamost a \(\displaystyle PC\) egyenessel a \(\displaystyle D\), illetve \(\displaystyle E\) pontokon keresztül. Ezek az egyenesek az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) oldalakat rendre a \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) pontokban metszik.
Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle PRCQ\) négyszög területe az \(\displaystyle APQ\) háromszög területével egyenlő nagyságú.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás.
Az ábrán látható módon kössük össze \(\displaystyle Q\)-t és \(\displaystyle R\)-t \(\displaystyle P\)-vel.
A \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle CE\) egyenesek a háromszöget három egyenlő területű részre osztják, mert az \(\displaystyle ADC\), \(\displaystyle DEC\) és \(\displaystyle EBC\) háromszögeknek a \(\displaystyle C\) csúcshoz tartozó magassága közös, és az \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle DE\), \(\displaystyle EB\) alapok egyenlő hosszúak.
A \(\displaystyle PCQ\) háromszög területe egyenlő a \(\displaystyle PCD\) háromszög területével, hiszen a két háromszögnek a \(\displaystyle PC\) oldalhoz tartozó magassága \(\displaystyle PC\) és \(\displaystyle DQ\) párhuzamossága miatt egyenlő.
Hasonlóan láthatjuk be, hogy a \(\displaystyle PCR\) háromszög területe egyenlő a \(\displaystyle PCE\) háromszög területével. Ez pedig azt jelenti, hogy
\(\displaystyle T_{PRCQ}=T_{PCQ}+T_{PCR}=T_{PCD}+T_{PCE}=T_{DEC}=T_{ABC}/3.\)
Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle T_{APQ}\) is harmadrésze az \(\displaystyle ABC\) háromszög területének. Ugyancsak \(\displaystyle PC\) és \(\displaystyle DQ\) párhuzamossága miatt a \(\displaystyle DCQ\) és \(\displaystyle DPQ\) háromszögek területe egyenlő, ezért
\(\displaystyle T_{ABC}/3=T_{ADC}=T_{DCQ}+T_{ADQ}=T_{DPQ}+T_{ADQ}=T_{APQ}.\)
Beláttuk, hogy az \(\displaystyle APQ\) háromszög területe is az \(\displaystyle ABC\) háromszög területének harmadrésze.
Tehát a \(\displaystyle PRCQ\) négyszög területe valóban egyenlő az \(\displaystyle APQ\) háromszög területével.
Statisztika:
27 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Féger Tamás, Hajdú Bálint, Kadem Aziz, Kalabay László, Kis 194 Károly, Molnár Réka, Sümegi Géza. 4 pontot kapott: Andó Lujza, Biró 424 Ádám, Fekete András Albert, Kelemen Anna, Lakatos Enikő, Ludányi Levente, Molnár Kristóf András, Palencsár Enikő, Schneider Anna, Szabó Csege, Szigeti Donát, Zaránd Andris. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2020. januári matematika feladatai