 |
A C. 1589. feladat (2020. február) |
C. 1589. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletet:
\(\displaystyle {(y^2+y-x-1)}^2+\left(x+\frac1x \right)^{2}=4. \)
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. Ismert, hogy egy számnak és a reciprokának az összege nagyobb vagy egyenlő, mint 2 vagy kisebb vagy egyenlő, mint \(\displaystyle -2\), és egyenlőség akkor van, ha a szám az 1 vagy a \(\displaystyle -1\). (Ez például a számtani és mértani közepek közötti összefüggés segítségével igazolható.) Ebből következik, hogy az egyenlet második tagja nagyobb vagy egyenlő, mint 4, és pontosan akkor 4, ha \(\displaystyle x=1\) vagy \(\displaystyle x=-1\). Mivel a jobb oldalon 4 áll, és a bal oldal első tagja nagyobb vagy egyenlő, mint 0 (hiszen valaminek a négyzete), így a második tagnak 4-nek kell lennie. Tehát \(\displaystyle x=1\) vagy \(\displaystyle x=-1\), a bal oldal első tagja pedig 0.
1. eset: \(\displaystyle x=1\)
\(\displaystyle y^2+y-1-1=0,\)
\(\displaystyle y^2+y-2=0,\)
amiből a másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva \(\displaystyle y=1\) vagy \(\displaystyle y=-2\).
2. eset: \(\displaystyle x=-1\)
\(\displaystyle y^2+y+1-1=0,\)
\(\displaystyle y^2+y=0,\)
\(\displaystyle y(y+1)=0.\)
Mivel egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így \(\displaystyle y=-1\) vagy \(\displaystyle y=0\).
A kapott négy számpárt visszahelyettesítve a kiindulási egyenletbe egyenlőséget kapunk, tehát ezek tényleg megoldások.
Vagyis a következő négy számpár a megoldása az egyenletnek: \(\displaystyle x=1\) és \(\displaystyle y=-2\), \(\displaystyle x=1\) és \(\displaystyle y=1\), \(\displaystyle x=-1\) és \(\displaystyle y=-1\) vagy \(\displaystyle x=-1\) és \(\displaystyle y=0\).
2. megoldás (vázlat). Rendezzük 0-ra az egyenletet:
\(\displaystyle (y^2+y-x-1)^2+\left(x-\frac 1x\right)^2=0.\)
Ez akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle y^2+y-x-1=0\) és \(\displaystyle x-\frac1x=0\). Ez utóbbiból \(\displaystyle x=\pm1\). Mindkettőt a másik egyenletbe helyettesítve megkapjuk a négy megoldást.
Statisztika:
151 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 96 versenyző. 4 pontot kapott: 30 versenyző. 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2020. februári matematika feladatai