Problem C. 1591. (February 2020)

C. 1591. The coordinates of a ship are \(\displaystyle x=2\), \(\displaystyle y=0\). The shoreline is given by the curve of equation \(\displaystyle y=\sqrt{2x+1}\). At what angle should the ship deviate from the direction due north in order to reach the closest point of the shore in a straight line? (Assume that the \(\displaystyle x\)-axis points towards the east.)

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle y=\sqrt{2x+1}\) egyenletű görbe pontjainak koordinátái \(\displaystyle (x,\sqrt{2x+1})\) (ahol \(\displaystyle x\geq -1/2\)). Mivel a hajó a \(\displaystyle (2,0)\) pontban van, így a hajó és a görbe egy tetszőleges pontjának a távolsága a következőképpen írható fel a Pitagorasz-tétel alapján:

\(\displaystyle \sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{2x+1}-0)^2}.\)

A feladat kérdésének a megválaszolásához ennek keressük a minimumhelyét. Mivel távolságról van szó, ami nemnegatív, így ennek a négyzetének is kereshetjük a minimumhelyét, ami a zárójelek felbontása után a következőképpen írható fel:

\(\displaystyle x^2-4x+4+2x+1=x^2-2x+5=(x-1)^2+4.\)

Ennek minimuma \(\displaystyle x=1\) esetén van, tehát \(\displaystyle x=1\) esetén a legkisebb ez a távolság. Az \(\displaystyle x=1\)-hez \(\displaystyle y=\sqrt{3}\) tartozik. Tehát a tengerpart hajóhoz legközelebbi pontja az \(\displaystyle (1,\sqrt3)\). Így az a kérdés, hogy ha a hajó a \(\displaystyle (2,0)\) pontból az \(\displaystyle (1, \sqrt3)\) pontba akar eljutni, akkor az északi iránytól, azaz a koordinátarendszerben az \(\displaystyle y\) tengely pozitív irányától mekkora szögben térjen el. Ehhez nézzük azt a háromszöget, melynek a három csúcsa: \(\displaystyle (2,0), (2,\sqrt3),(1, \sqrt3) \).

Ahogy látható ez a háromszög derékszögű és befogói 1 és \(\displaystyle \sqrt3\) hosszúak, így a keresett \(\displaystyle \varphi\) szög tangense:

\(\displaystyle \tg \varphi = \frac{1}{\sqrt3},\)

amiből

\(\displaystyle \varphi= 30^{\circ},\)

hiszen \(\displaystyle \varphi\) hegyesszög.

Tehát \(\displaystyle 30^{\circ}\)-kal kell eltérnie a hajónak az északi iránytól balra.

Megjegyzések. 1. Többen nem a távolságot írták fel \(\displaystyle x\) függvényében, hanem felvettek egy \(\displaystyle (2;0)\) középpontú kört, majd ennek sugarát határozták úgy meg, hogy az érintse az \(\displaystyle y=\sqrt{2x+1}\) görbét, majd ebből számolták a megfelelő \(\displaystyle x\) értéket.
2. Néhányan próbálkoztak az érintő egyenletét meghatározni, annak irányszögét a \(\displaystyle \tg\alpha=m\) összefüggésből kapták, végül az eltérés szöge \(\displaystyle 90^{\circ}-\alpha\).
3. A távolság minimumát nem teljes négyzetté való kiegészítés útján számolták, hanem a Viéte-formulából.
4. Jellemző hibák: – Sokan az \(\displaystyle x\)-tengelytől való eltérést számolták.
– Sokan megsejtették, hogy a minimális távolság 2, ezt azonban nem indokolták.

Statistics:

165 students sent a solution.
5 points:	117 students.
4 points:	24 students.
3 points:	5 students.
2 points:	7 students.
1 point:	7 students.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020