Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1596. feladat (2020. március)

C. 1596. Egy háromszög oldalai 5 cm, 5 cm és 6 cm hosszúak. A háromszögbe írható körnek az oldalakkal párhuzamos érintői és az oldalak egy hatszöget zárnak közre. Mekkora ennek a területe?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.


Megoldás. A megoldás során a rövidebb írásmód kedvéért a cm mértékegységet nem tüntetjük fel, egy egységnek a jelentése 1 cm lesz.

Használjuk az ábra jelöléseit: Legyenek a háromszög csúcsai A,B,C (AB=6,AC=BC=5), a keletkező hatszög csúcsai pedig L,M,N,O,P,Q. A beírt kör sugara r, a C csúcsból induló magasság talppontja E, az OP szakaszon az érintési pont K. (A tengelyes szimmetria alapján E egyben az AB oldal felezőpontja és a beírt kör érintési pontja, K pedig a beírt körön az E-vel átellenes pont.)

A Pitagorasz-tétel alapján a CE magasság hossze CE=BC2BE2=5232=4, így az ABC háromszög területe

T=ABCE2=642=12.

Most írjuk fel a területet a félkerület (s=8) és a beírt kör sugara segítségével:

T=rs,

12=r8,

amiből

r=32.

Mivel OP egyenes párhuzamsos AB-vel, így POC háromszög hasonló ABC háromszöghöz. Meghatározva a hasonlóság arányát, tudni fogjuk POC háromszög területét is (a hasonlóság arányának négyzete lesz a területek aránya).

Korábban már meghatároztuk, hogy EC=4, a POC háromszög CK magassága pedig

CK=EC2r=43=1.

Azaz a két háromszög magasságának aránya 1:4, azaz a területük aránya 1:16. Ebből

TPOC=1216=34.

Szimmetriai okokból ALQ és MBN háromszög területe egyenlő, és hasonló módon számolható ki, mint POC háromszög területe. Például, nézzük az ALQ háromszöget. Az ABC háromszögben a BC oldalhoz tartozó magasság hossza 245. Az ALQ háromszögben a QL-hez tartozó magasság hossza 2452r=2453=95. Azaz a két háromszög hasonlóságának aránya (9/5):(24/5)=3:8, így a területük aránya 9:64. Ebből

TALQ=12964=2716.

Ekkor a hatszög területét már ki tudjuk számolni úgy, hogy az ABC háromszög területéből kivonjuk a három ,,kis'' háromszög területét:

Thatszög=123422716=638.

Tehát a hatszög területe 638 cm2.


Statisztika:

103 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bánó Bulcsú, Cseke Balázs, Cserkuti Sándor, Deák Gergely, Egyházi Hanna, Feczkó Nóra, Fekete Patrik, Hajós Balázs, Horváth Milán, Kalocsai Zoltán, Kruppa László, László Gergely, Lőw László, Mészáros Anna Veronika, Nagy 429 Leila, Németh László Csaba, Sárvári Borka Luca, Schiller Bence, Szabó 219 Petra, Szabó 423 Ágnes, Szabó Réka, Szabó Zóra, Szász Csenge, Szélpál Petra, Szirmai Dénes, Üveges Laura , Veres Dorottya.
4 pontot kapott:Bányai Kristóf, Barát Benedek, Csilling Dániel, Csonka Illés, Domján Olivér, Dózsa Levente, Fonyódi Sára, Gombos Dóra, Gombos Gergely , Héjja Márton, Horváth Antal, Mátéfy Ádám , Nagy 989 Lea, Szakács Domonkos, Szittyai Anna, Téglás Panna.
3 pontot kapott:17 versenyző.
2 pontot kapott:30 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2020. márciusi matematika feladatai