A C. 1604. feladat (2020. április)

C. 1604. A mezőgazdasági kiállításon és vásáron egy termelő az általa előállított vetőmaggal jelentkezett. Összesen 1225 csomagot hozott: 1 db 1 grammos, 2 db 2 grammos, 3 db 3 grammos, ..., $\displaystyle k$ db $\displaystyle k$ grammos csomagot – $\displaystyle 1$-től $\displaystyle k$-ig minden pozitív egész szám előfordul. Átlagosan hány gramm vetőmag volt egy csomagban?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Először határozzuk meg $\displaystyle k$ értékét:

$\displaystyle 1+2+\cdots+k=1225,$

azaz

$\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}=1225.$

Felbontva a zárójelet, átszorozva, 0-ra rendezve kapjuk, hogy:

$\displaystyle k^2+k-2450=0.$

A másodfokú egyenlet megoldóképletéből $\displaystyle k_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+9800}}{2}=\frac{-1\pm99}{2}$, vagyis $\displaystyle k=49$ (hiszen $\displaystyle k>0$, a másik gyök pedig negatív).

Most számoljuk ki, hogy átlagosan hány gramm vetőmag van egy csomagban:

$\displaystyle \frac{1 \cdot 1+ 2 \cdot 2+ \cdots + 49 \cdot 49}{1225}=\frac{1^2+2^2+ \cdots +49^2}{1225}.$

Felhasználva, hogy az első $\displaystyle n$ négyzetszám összege $\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ kapjuk, hogy

$\displaystyle \frac{1^2+2^2+ \cdots +49^2}{1225}=\frac{49 \cdot 50 \cdot 99}{6 \cdot 1225}=33.$

Tehát átlagosan 33 gramm vetőmag van egy csomagban.

Statisztika:

190 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	153 versenyző.
4 pontot kapott:	19 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai