A C. 1607. feladat (2020. április)

C. 1607. A 4 és a 9 közé leírunk néhány 4-est, majd mellé még ugyanannyi 8-ast (például 4489). Bizonyítsuk be, hogy az így kapott szám négyzetszám.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a 4-es és 9-es közé írt 4-esek száma $\displaystyle k$ (ekkor a 8-asok száma is $\displaystyle k$). Ekkor

$\displaystyle 44\dots 48\dots 89= 44\dots 48\dots 88+1=4 \cdot \frac{10^{k+1}-1}{9} \cdot 10^{k+1} + 8 \cdot \frac{10^{k+1}-1}{9} +1,$

hiszen $\displaystyle \frac{10^{k+1}-1}{9}=11\dots 1$ a $\displaystyle k+1$ darab 1-es egymás mellé írásával keletkező szám.

Legyen $\displaystyle a:= 10^{k+1}$, ekkor a fenti kifejezés a következő módon írható fel:

$\displaystyle \frac{4a^2-4a+8a-8+9}{9}= \frac{4a^2+4a+1}{9}= \left(\frac{2a+1}{3}\right)^2= \left(\frac{2 \cdot 10^{k+1}+1}{3}\right)^2.$

A zárójelben levő szám egész, hiszen a számlálónak 0 a 3-as maradéka ($\displaystyle 2 \cdot 10^{k+1}$-nek 2 a 3-as maradéka, és ehhez adunk 1-et).

Azaz megmutattuk, hogy $\displaystyle 44\dots 48\dots 89$ négyzetszám, méghozzá $\displaystyle \frac{2 \cdot 10^{k+1}+1}{3}$-nek a négyzete (ha $\displaystyle k-k$ darab 4-est, illetve 8-ast írtunk be).

Statisztika:

34 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Amamou Martin, Andó Lujza, Arató Zita, Biró 424 Ádám, Fekete András Albert, Hajdú Bálint, Kalabay László, Kelemen Anna, Lukács Emma, Molnár Réka, Nagy 009 Dávid, Palencsár Enikő, Rátki Gergely, Schneider Anna, Tóth Lilla Eszter , Vakaris Klyvis, Viharos Márta Judit.
4 pontot kapott:	Bihari Petra, Bödő Lajos, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kis 194 Károly, Majerusz Ádám, Székelyhidi Klára, Zaránd Andris.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai