A C. 1609. feladat (2020. május)

C. 1609. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán:

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle x+y=:a$ és $\displaystyle \frac xy=:b$ ($\displaystyle y \neq 0$). Ekkor az egyenletrendszerünk az alábbi módon írható fel:

$\displaystyle a+b=19,$

$\displaystyle ab=60.$

Ebből a következő másodfokú egyenletnek a gyökei $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$:

$\displaystyle z^2-19z+60=0.$

A másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján a gyökök 4 és 15. Azaz

1. eset: $\displaystyle a=4, b=15$
Ekkor $\displaystyle x+y=4$, amiből $\displaystyle y=4-x.$ Továbbá $\displaystyle \frac xy=15$, ahova behelyettesítve az előbbi $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ közti összefüggést kapjuk, hogy

$\displaystyle \frac{x}{4-x}=15,$

átszorozva és rendezve

$\displaystyle x=\frac{15}{4}.$

Visszahelyettesítve

$\displaystyle y=\frac14.$

2. eset: $\displaystyle a=15, b=4$
Ekkor $\displaystyle x+y=15$, amiből $\displaystyle y=15-x.$ Továbbá $\displaystyle \frac xy=4$, ahova behelyettesítve az előbbi $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ közti összefüggést kapjuk, hogy

$\displaystyle \frac{x}{15-x}=4,$

átszorozva és rendezve

$\displaystyle x=12.$

Visszahelyettesítve

$\displaystyle y=3.$

Ezeket a számpárokat visszahelyettesítve teljesül az eredeti egyenletrendszer.

Tehát a következő $\displaystyle (x,y)$ számpárok a megoldásai az egyenletrendszernek: $\displaystyle (\frac{15}{4}, \frac14)$ és $\displaystyle (12,3)$.

Statisztika:

71 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	61 versenyző.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2020. májusi matematika feladatai