 |
A C. 1609. feladat (2020. május) |
C. 1609. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán:
$$\begin{align*} x+y+\frac xy & =19,\\ \frac{x(x+y)}{y} & =60. \end{align*}$$(5 pont)
A beküldési határidő 2020. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle x+y=:a\) és \(\displaystyle \frac xy=:b\) (\(\displaystyle y \neq 0\)). Ekkor az egyenletrendszerünk az alábbi módon írható fel:
\(\displaystyle a+b=19,\)
\(\displaystyle ab=60.\)
Ebből a következő másodfokú egyenletnek a gyökei \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\):
\(\displaystyle z^2-19z+60=0.\)
A másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján a gyökök 4 és 15. Azaz
1. eset: \(\displaystyle a=4, b=15\)
Ekkor \(\displaystyle x+y=4\), amiből \(\displaystyle y=4-x.\) Továbbá \(\displaystyle \frac xy=15\), ahova behelyettesítve az előbbi \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) közti összefüggést kapjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{x}{4-x}=15,\)
átszorozva és rendezve
\(\displaystyle x=\frac{15}{4}.\)
Visszahelyettesítve
\(\displaystyle y=\frac14.\)
2. eset: \(\displaystyle a=15, b=4\)
Ekkor \(\displaystyle x+y=15\), amiből \(\displaystyle y=15-x.\) Továbbá \(\displaystyle \frac xy=4\), ahova behelyettesítve az előbbi \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) közti összefüggést kapjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{x}{15-x}=4,\)
átszorozva és rendezve
\(\displaystyle x=12.\)
Visszahelyettesítve
\(\displaystyle y=3.\)
Ezeket a számpárokat visszahelyettesítve teljesül az eredeti egyenletrendszer.
Tehát a következő \(\displaystyle (x,y)\) számpárok a megoldásai az egyenletrendszernek: \(\displaystyle (\frac{15}{4}, \frac14)\) és \(\displaystyle (12,3)\).
Statisztika:
71 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 61 versenyző. 4 pontot kapott: 2 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2020. májusi matematika feladatai