A C. 1611. feladat (2020. május)

C. 1611. Az első 21 pozitív egész szám közül néhányat kiválasztunk úgy, hogy bármely kettő különbségének az abszolút értékét véve ezen értékek között ne legyen két egyforma. Legfeljebb hány különböző érték jöhet létre? Adjunk konkrét példát is erre az esetre.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. június 10-én LEJÁRT.

Megjegyzés. A megoldás során végig úgy képezzük a különbséget, hogy a nagyobb számból vonjuk ki a kisebbet, így a különbség eleve pozitív lesz, nem szükséges az abszolútértékét venni.

A legkisebb lehetséges különbség az 1, a legnagyobb a 20 lehet, azaz összesen 20-féle érték állhat elő különbségként. Ha \(\displaystyle n\) számot választottunk ki megfelelő módon, akkor \(\displaystyle \binom{n}{2}\) különbség jön létre, vagyis azt kell meghatároznunk, legfeljebb mekkora lehet \(\displaystyle n\), azaz legfeljebb hány számot választhattunk ki.

Ha 7 számot választanánk ki, akkor közülük minden lehetséges módon kettőt kiválasztva \(\displaystyle \binom72=21\) különbség adódna. Ezek közül nem lehet mind különböző, hiszen csak 20-féle értéket kaphatunk az előbbiek szerint. Ha 7-nél több számot választunk ki, akkor még több különbség adódik, amik között az előbbiek szerint lesz egyforma.

6 szám kiválasztható megfelelően, és ilyenkor 15 különböző érték jön létre különbségként. (Ha kevesebb számot választanánk, akkor kevesebb féle érték jöhetne létre különbségként.) Például az \(\displaystyle 1,2, 4,8,13\) és \(\displaystyle 21\) számok választása esetén az alábbi különbségek adódnak:

\(\displaystyle 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8,9, 11, 12, 13, 17, 19, 20.\)

Tehát legfeljebb 15 különböző érték jöhet létre.

Statisztika:

90 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	63 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2020. májusi matematika feladatai