A C. 1612. feladat (2020. május)

C. 1612. Az $\displaystyle A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7$ konvex hétszög egy olyan körbe írható bele, amelynek középpontja a hétszög belsejében van. Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle A_1$, $\displaystyle A_3$ és $\displaystyle A_5$ csúcsoknál lévő belső szögek összege kisebb $\displaystyle 450^{\circ}$-nál.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Kössük össze a hétszög csúcsait a kör $\displaystyle O$ középpontjával. Ekkor keletkezik 7 háromszög az ábrán látható módon. Ezen háromszögek mindegyike egyenlő szárú, hisz bármelyik háromszögnek két oldala a körnek sugara.

Ezen hét háromszög bármelyikében az alapon fekvő szögek egyenlő nagyságúak. Ezeket az egyenlő szögeket jelöltük azonos színnel az ábrán.

Egy $\displaystyle n$ oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege $\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ}$, így a hétszög belső szögeinek összege $\displaystyle 900^{\circ}$. Ez a $\displaystyle 900^{\circ}$ nem más, mint a 7 háromszög alapon fekvő szögeinek összege. Tehát ha minden háromszögnek csak egy alapon fekvő szögét tekintjük (minden színes szögből csak egyet veszünk), akkor azok összege $\displaystyle 450^{\circ}$.

A hétszög $\displaystyle A_1, A_3$ és $\displaystyle A_5$ csúcsainál levő belső szögeit tekintve, azokban minden ,,alapon fekvő'' szögből egy szerepel, kivéve az $\displaystyle A_6A_7O$ háromszögét (egy szín kimarad). Tehát ezen belső szögek összege kisebb, mint $\displaystyle 450^{\circ}$.

Megjegyzés. Éppen annyival kisebb az összeg $\displaystyle 450^\circ$-nál, amekkora az $\displaystyle A_6A_7O$ szög nagysága. Annál közelebb van az összeg $\displaystyle 450^\circ$-hoz, minél közelebb van $\displaystyle A_6A_7$ hossza a kör átmérőjéhez.

Statisztika:

66 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	53 versenyző.
4 pontot kapott:	4 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2020. májusi matematika feladatai