A C. 1613. feladat (2020. május)

C. 1613. Egy kosárlabda-bajnokságon $\displaystyle n$ csapat vett részt. Bármelyik két csapat pontosan egyszer játszott egymással, döntetlen nem volt. A bajnokság végén az $\displaystyle i$-edik csapatnak $\displaystyle x_i$ győzelme és $\displaystyle y_i$ veresége volt ($\displaystyle i=1,2,\ldots,n$). Bizonyítsuk be, hogy

$\displaystyle x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2.$

(Horvát feladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Minden csapat $\displaystyle n-1$ mérkőzést játszott, így ha az $\displaystyle i$-edik csapatnak $\displaystyle x_i$ győzelme volt, és nem volt döntetlen, akkor a vereségei száma $\displaystyle y_i=(n-1)-x_i$ ($\displaystyle i=1,2,...,n$). Így

$\displaystyle y_1^2+y_2^2+...+y_n^2=[(n-1)-x_1]^2+ [(n-1)-x_2]^2+ \dots +[(n-1)-x_n]^2=$

$\displaystyle =n (n-1)^2 - 2(n-1)(x_1+x_2+ \cdots +x_n) + (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2).$

Az összes mérkőzések száma egyrészt $\displaystyle n(n-1)/2$, hiszen mind az $\displaystyle n$ csapat mind az $\displaystyle n-1$ másik csapattal játszik, de így mindegyik mérkőzést 2-szer számoljuk. Másrészt a mérkőzések száma az összes győzelmek száma, hiszen nincsen döntetlen, azaz $\displaystyle x_1+x_2+ \cdots +x_n=n(n-1)/2.$ Ezt felhasználva

$\displaystyle n (n-1)^2 - 2(n-1)(x_1+x_2+ \cdots +x_n) + (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)=$

$\displaystyle =n (n-1)^2 - 2(n-1)\cdot \frac{n(n-1)}{2}+x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=$

$\displaystyle =x_1^2+x_2^2+...+x_n^2.$

Azaz

$\displaystyle y_1^2+y_2^2+...+y_n^2= x_1^2+x_2^2+...+x_n^2,$

tehát igazoltuk az állítást.

Statisztika:

75 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Albert Ákos, Arató Zita, Barát Benedek, Biró 424 Ádám, Cserkuti Sándor, Csonka Illés, Deák Gergely, Dékány Csaba, Domján Olivér, Feczkó Nóra, Féger Tamás, Fekete András Albert, Fekete Patrik, Foris Dávid, Hajdú Bálint, Hajós Balázs, Halász Henrik, Horváth Milán, Kadem Aziz, Kalabay László, Kis 194 Károly, Klepáček László, Kovács Benedek Noel, Lőw László, Majerusz Ádám, Molnár Réka, Nagy 009 Dávid, Nagy 989 Lea, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Palencsár Enikő, Perényi Lídia , Pesti Patrik, Schneider Anna, Sebestyén József Tas, Somogyi Dalma, Stein Felix, Szabó 423 Ágnes, Szabó Csege, Szabó Réka, Szabó Zóra, Szakács Domonkos, Szalanics Tamás, Szamkó Szabolcs, Szigeti Donát, Szittyai Anna, Téglás Panna, Vakaris Klyvis, Veres Dorottya, Zaránd Andris.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. májusi matematika feladatai