 |
A C. 1616. feladat (2020. szeptember) |
C. 1616. Oldjuk meg az
\(\displaystyle x+\frac{1}{y+\frac{1}{\frac{5z}{4}+\frac{13}{6v}}}=\frac{135}{113} \)
egyenletet, ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\), \(\displaystyle v\) pozitív egész számok.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel \(\displaystyle y,z,v\) pozitív egészek, ezért a bal oldalon található második tag 1-nél kisebb (hiszen nevezője 1-nél nagyobb) pozitív szám. Így a bal oldalon látható kifejezés egészrésze \(\displaystyle x\), tehát \(\displaystyle x=\left[ \frac{135}{113} \right]=1\). Ekkor viszont
\(\displaystyle \frac{1}{y+\frac{1}{\frac{5z}{4}+\frac{13}{6v}}}=\frac{135-113}{113}=\frac{22}{113},\)
vagyis
\(\displaystyle y+\frac{1}{\frac{5z}{4}+\frac{13}{6v}}=\frac{113}{22}.\)
Mivel \(\displaystyle \frac{5z}{4}>1\) (és \(\displaystyle v\) pozitív), ezért a bal oldal második tagja ismét 1-nél kisebb pozitív szám, így a bal oldal egészrésze \(\displaystyle y\). Tehát \(\displaystyle y=\left[ \frac{113}{22} \right]=5\). Ekkor
\(\displaystyle \frac{1}{\frac{5z}{4}+\frac{13}{6v}}=\frac{113-5\cdot22}{22}=\frac{3}{22},\)
vagyis
\(\displaystyle \frac{5z}{4}+\frac{13}{6v}=\frac{22}{3}.\)
\(\displaystyle \frac{4}{5}\)-del való szorzás után:
\(\displaystyle z+\frac{26}{15v}=\frac{88}{15}.\)
A bal oldal második tagjának értéke legfeljebb \(\displaystyle \frac{26}{15}\) (hiszen \(\displaystyle v\) pozitív egész), és nagyobb, mint 0, így a bal oldalon látható kifejezés egész része vagy \(\displaystyle z\), vagy \(\displaystyle z+1\). Mivel \(\displaystyle \left[ \frac{88}{15} \right]=5\), ezért \(\displaystyle z=5\) vagy \(\displaystyle z=4\).
Ha \(\displaystyle z=4\) lenne, akkor a \(\displaystyle \frac{26}{15v}=\frac{88-60}{15}=\frac{28}{15}\) egyenlet megoldása: \(\displaystyle v=\frac{13}{14}\), ami nem egész, így itt nem kapunk megoldást.
Ha \(\displaystyle z=5\), akkor \(\displaystyle \frac{26}{15v}=\frac{88-75}{15}=\frac{13}{15}\) megoldása \(\displaystyle v=2\), ami egész, így itt megoldást kapunk.
Ezek alapján egyetlen megoldás van, éspedig \(\displaystyle x=1,y=5,z=5,v=2\).
A kapott számnégyest visszahelyettesítéssel ellenőrizve, vagy a lépések ekvivalens voltára hivatkozva láthatjuk, hogy ez valóban megoldás.
Statisztika:
162 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 83 versenyző. 4 pontot kapott: 38 versenyző. 3 pontot kapott: 20 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 3 dolgozat.
A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai