A C. 1618. feladat (2020. szeptember)

C. 1618. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle a_n=\frac{(n-1)n}{n+1}\) sorozat elemeire \(\displaystyle n\ge 1\) esetén fennáll:

\(\displaystyle \frac23\le a_{n+1}-a_n<1. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel

\(\displaystyle a_n=\frac{(n-1)n}{n+1}=\frac{n^2-n}{n+1}=\frac{(n+1)(n-2)+2}{n+1}=n-2+\frac{2}{n+1},\)

ezért

\(\displaystyle a_{n+1}-a_n=n-1+\frac{2}{n+2}-(n-2)-\frac{2}{n+1}=1+\frac{2(n+1)-2(n+2)}{(n+2)(n+1)}=1-\frac{2}{(n+1)(n+2)}.\)

Ha \(\displaystyle n\geq 1\), akkor \(\displaystyle 0<\frac{2}{(n+1)(n+2)}\leq \frac13\), és így

\(\displaystyle \frac23\leq a_{n+1}-a_n<1.\)

Statisztika:

267 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	115 versenyző.
4 pontot kapott:	82 versenyző.
3 pontot kapott:	36 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai