A C. 1619. feladat (2020. szeptember)

C. 1619. Egy hegyesszögű háromszög mindhárom oldalfelező pontjából merőlegest állítunk a másik két oldalra. Bizonyítsuk be, hogy a behúzott szakaszok által meghatározott hatszög területe a háromszög területének felével egyenlő.

(Horvát feladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit! Az $\displaystyle ABC$ hegyesszögű háromszög oldalfelezőpontjai tehát $\displaystyle D,E,F$, az ezekből indított merőlegesek talppontjai pedig (az ábra szerint) $\displaystyle P,Q,R,S,T,U$.

A háromszöget a középvonalai négy egybevágó háromszögre osztják, melyek hasonlók $\displaystyle ABC$-hez:
$\displaystyle AFE,\ FBD,\ EDC,\ DEF$. Ezeknek a háromszögeknek $\displaystyle 2-2$ magasságát húztuk be, ezek talppontjai a megfelelői oldalak belső pontjai, hiszen a háromszögek hegyesszögűek. Mindhárom háromszögben húzzuk be a harmadik magasságvonalat is, és jelöljük a magasságpontokat $\displaystyle M_A,M_B,M_C$-vel. A kérdéses hatszög $\displaystyle DM_CEM_AFM_B$.

Az $\displaystyle AFE,\ FBD,\ EDC$ háromszögek egybevágósága alapján világos, hogy $\displaystyle AFM_A$ és $\displaystyle EDM_C$ egybevágók, valamint $\displaystyle AM_AE$ és $\displaystyle FM_BD$ is egybevágók. Így $\displaystyle T_{M_AFE}+T_{FM_BD}+T_{EDM_C}=T_{M_AFE}+T_{AM_AE}+T_{AFM_A}=T_{AFE}=\frac{1}{4} T_{ABC}.$ Ez alapján pedig

$\displaystyle T_{DM_CEM_AFM_B}=T_{M_AFE}+T_{FM_BD}+T_{EDM_C}+T_{DEF}=\frac{1}{4} T_{ABC}+\frac{1}{4} T_{ABC}=\frac{1}{2} T_{ABC}.$

Ezzel megmutattuk, hogy a kérdéses hatszög területe a háromszög területének felével egyenlő.

Statisztika:

185 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	71 versenyző.
4 pontot kapott:	40 versenyző.
3 pontot kapott:	25 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	21 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai