A C. 1620. feladat (2020. szeptember)

C. 1620. Mekk Elek, az ezermester egy ugródeszkát eszkábált az udvarára. Mérései alapján megállapította, hogy ha a róla való elugráshoz a deszka vége az alaphelyzet alá hajlik \(\displaystyle x\) dm-rel, akkor a deszkáról \(\displaystyle 0{,}5x^2+ax+b\) dm magasra tud ugrani. Sajnos \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) értékét elfelejtette, azonban arra emlékszik, hogy ha \(\displaystyle 10\) cm-t hajlott le a deszka, akkor \(\displaystyle 35\) cm magasra ugrott, négyszer ekkora lehajlásnál pedig négyszer ekkorát ugrott. Milyen \(\displaystyle a\), illetve \(\displaystyle b\) értékeket határozott meg Mekk Elek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle f(x)=0,5x^2+ax+b\). A feltételek alapján \(\displaystyle f(1)=3,5\) és \(\displaystyle f(4)=f(4\cdot 1)=4\cdot 3,5=14\), vagyis:

\(\displaystyle 0,5\cdot 1+a+b=3,5,\)

\(\displaystyle 0,5\cdot 16+4a+b=14.\)

Az egyenleteket rendezve:

\(\displaystyle a+b=3,\)

\(\displaystyle 4a+b=6.\)

A második egyenletből az elsőt kivonva, majd 3-mal osztva megkapjuk \(\displaystyle a\) értékét:

\(\displaystyle a=\frac{6-3}{2}=1.\)

A kapott értéket (például) az első egyenletbe visszahelyettesítve \(\displaystyle b\) értéke is adódik:

\(\displaystyle b=3-a=2.\)

Behelyettesítéssel látható, hogy \(\displaystyle a=1,\quad b=2\) esetén mindkét fenti egyenlet valóban teljesül. Tehát Mekk Elek a következő értékeket határozta meg:

\(\displaystyle a=1,\quad b=2.\)

Statisztika:

355 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	286 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	35 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai