A C. 1620. feladat (2020. szeptember)

C. 1620. Mekk Elek, az ezermester egy ugródeszkát eszkábált az udvarára. Mérései alapján megállapította, hogy ha a róla való elugráshoz a deszka vége az alaphelyzet alá hajlik $\displaystyle x$ dm-rel, akkor a deszkáról $\displaystyle 0{,}5x^2+ax+b$ dm magasra tud ugrani. Sajnos $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ értékét elfelejtette, azonban arra emlékszik, hogy ha $\displaystyle 10$ cm-t hajlott le a deszka, akkor $\displaystyle 35$ cm magasra ugrott, négyszer ekkora lehajlásnál pedig négyszer ekkorát ugrott. Milyen $\displaystyle a$, illetve $\displaystyle b$ értékeket határozott meg Mekk Elek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle f(x)=0,5x^2+ax+b$. A feltételek alapján $\displaystyle f(1)=3,5$ és $\displaystyle f(4)=f(4\cdot 1)=4\cdot 3,5=14$, vagyis:

$\displaystyle 0,5\cdot 1+a+b=3,5,$

$\displaystyle 0,5\cdot 16+4a+b=14.$

Az egyenleteket rendezve:

$\displaystyle a+b=3,$

$\displaystyle 4a+b=6.$

A második egyenletből az elsőt kivonva, majd 3-mal osztva megkapjuk $\displaystyle a$ értékét:

$\displaystyle a=\frac{6-3}{2}=1.$

A kapott értéket (például) az első egyenletbe visszahelyettesítve $\displaystyle b$ értéke is adódik:

$\displaystyle b=3-a=2.$

Behelyettesítéssel látható, hogy $\displaystyle a=1,\quad b=2$ esetén mindkét fenti egyenlet valóban teljesül. Tehát Mekk Elek a következő értékeket határozta meg:

$\displaystyle a=1,\quad b=2.$

Statisztika:

355 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	286 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	35 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai