A C. 1625. feladat (2020. október)

C. 1625. Igazoljuk, hogy az egyjegyű pozitív egész számok közül bármelyik ötöt kiválasztva akad közöttük néhány, amelyek összege osztható 10-zel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

Megjegyzés. A B. 4974. feladat megoldásához hasonlóan először tekintsük az

\(\displaystyle \{1,9\},\{2,8\},\{3,7\},\{4,6\}\)

párokat; ha ezek valamelyikének két eleme is az öt kiválasztott szám között van, akkor egy két tagú 10-et adó összeget kapunk, és készen vagyunk. A továbbiakban feltesszük, hogy mind a 4 párnak legfeljebb egy tagja van a számok között. Ekkor viszont az 5 biztosan köztük van, és valójában mind a 4 párnak pontosan az egyik eleme kell, hogy köztük legyen.

Feltehető, hogy az 1 ki lett választva (és a 9 nem). (Máskülönben hajtsuk végre az \(\displaystyle a\leftrightarrow 10-a\) cserét minden kiválasztott számra, ekkor 10-zel osztható összegekből továbbra is 10-zel osztható összegek lesznek, és megfordítva.)

Ha a 4 ki van választva, akkor \(\displaystyle 1+4+5=10\) miatt készen vagyunk, így feltehető, hogy a 6 van kiválasztva.

Ha a 3 ki van választva, akkor \(\displaystyle 1+3+6=10\) alapján készen vagyunk, így feltehető, hogy a 7 van kiválasztva.

Az eddigiek alapján az az eset van hátra, amikor \(\displaystyle \{1,5,6,7\}\) elemei mind ki vannak választva. Mivel \(\displaystyle 2+5+6+7=20\) és \(\displaystyle 5+7+8=20\), ezért akár a 2, akár a 8 a hiányzó kiválasztott szám, mindenképpen kapunk 10-zel osztható összeget.

Megjegyzés. Az állítás éles: öt helyett négy számmal már nem teljesülne a következtetés: a megoldás során kapott \(\displaystyle \{1,5,6,7\}\) halmaz elemei közül például bárhogyan választunk néhányat (de legalább egyet), az összeg nem lesz 10-zel osztható.

Statisztika:

231 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	114 versenyző.
4 pontot kapott:	33 versenyző.
3 pontot kapott:	34 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	12 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai