 |
A C. 1625. feladat (2020. október) |
C. 1625. Igazoljuk, hogy az egyjegyű pozitív egész számok közül bármelyik ötöt kiválasztva akad közöttük néhány, amelyek összege osztható 10-zel.
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.
Megjegyzés. A B. 4974. feladat megoldásához hasonlóan először tekintsük az
{1,9},{2,8},{3,7},{4,6}
párokat; ha ezek valamelyikének két eleme is az öt kiválasztott szám között van, akkor egy két tagú 10-et adó összeget kapunk, és készen vagyunk. A továbbiakban feltesszük, hogy mind a 4 párnak legfeljebb egy tagja van a számok között. Ekkor viszont az 5 biztosan köztük van, és valójában mind a 4 párnak pontosan az egyik eleme kell, hogy köztük legyen.
Feltehető, hogy az 1 ki lett választva (és a 9 nem). (Máskülönben hajtsuk végre az a↔10−a cserét minden kiválasztott számra, ekkor 10-zel osztható összegekből továbbra is 10-zel osztható összegek lesznek, és megfordítva.)
Ha a 4 ki van választva, akkor 1+4+5=10 miatt készen vagyunk, így feltehető, hogy a 6 van kiválasztva.
Ha a 3 ki van választva, akkor 1+3+6=10 alapján készen vagyunk, így feltehető, hogy a 7 van kiválasztva.
Az eddigiek alapján az az eset van hátra, amikor {1,5,6,7} elemei mind ki vannak választva. Mivel 2+5+6+7=20 és 5+7+8=20, ezért akár a 2, akár a 8 a hiányzó kiválasztott szám, mindenképpen kapunk 10-zel osztható összeget.
Megjegyzés. Az állítás éles: öt helyett négy számmal már nem teljesülne a következtetés: a megoldás során kapott {1,5,6,7} halmaz elemei közül például bárhogyan választunk néhányat (de legalább egyet), az összeg nem lesz 10-zel osztható.
Statisztika:
231 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 114 versenyző. 4 pontot kapott: 33 versenyző. 3 pontot kapott: 34 versenyző. 2 pontot kapott: 18 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző. Nem versenyszerű: 12 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai
|
|