A C. 1626. feladat (2020. október)

C. 1626. Az $\displaystyle ABC$ hegyesszögű háromszög $\displaystyle BC$ oldalának felezőpontja legyen $\displaystyle F$, a $\displaystyle B$-ből induló magasságvonal talppontja pedig $\displaystyle T$. Bizonyítsuk be, hogy ha $\displaystyle FAC\sphericalangle=30^{\circ}$, akkor $\displaystyle AF=BT$.

Róka Sándor (Nyíregyháza) javaslata alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás.

Az $\displaystyle F$-ből $\displaystyle AC$-re állított merőleges talppontja legyen $\displaystyle R$.

A $\displaystyle BTC$ háromszögben $\displaystyle FR$ középvonal (hiszen $\displaystyle BT$ és $\displaystyle FR$ párhuzamosak, $\displaystyle F$ pedig felezőpont), így $\displaystyle BT=2FR$.

Az $\displaystyle AFR$ egy félszabályos háromszög ($\displaystyle R$-nél derékszög, $\displaystyle A$-nál $\displaystyle 30^\circ$-os szög van), így $\displaystyle AF=2FR$.

Ezzel megmutattuk, hogy $\displaystyle AF=BT(=2FR)$.

Statisztika:

167 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	105 versenyző.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem versenyszerű:	22 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai