A C. 1626. feladat (2020. október)

C. 1626. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle BC\) oldalának felezőpontja legyen \(\displaystyle F\), a \(\displaystyle B\)-ből induló magasságvonal talppontja pedig \(\displaystyle T\). Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle FAC\sphericalangle=30^{\circ}\), akkor \(\displaystyle AF=BT\).

Róka Sándor (Nyíregyháza) javaslata alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás.

Az \(\displaystyle F\)-ből \(\displaystyle AC\)-re állított merőleges talppontja legyen \(\displaystyle R\).

A \(\displaystyle BTC\) háromszögben \(\displaystyle FR\) középvonal (hiszen \(\displaystyle BT\) és \(\displaystyle FR\) párhuzamosak, \(\displaystyle F\) pedig felezőpont), így \(\displaystyle BT=2FR\).

Az \(\displaystyle AFR\) egy félszabályos háromszög (\(\displaystyle R\)-nél derékszög, \(\displaystyle A\)-nál \(\displaystyle 30^\circ\)-os szög van), így \(\displaystyle AF=2FR\).

Ezzel megmutattuk, hogy \(\displaystyle AF=BT(=2FR)\).

Statisztika:

167 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	105 versenyző.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem versenyszerű:	22 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai