 |
A C. 1627. feladat (2020. október) |
C. 1627. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) valós számokra teljesül, hogy \(\displaystyle a+b+c>0\), \(\displaystyle ab+bc+ca>0\) és \(\displaystyle abc>0\), akkor \(\displaystyle a>0\), \(\displaystyle b>0\) és \(\displaystyle c>0\).
Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. Mivel \(\displaystyle abc>0\), ezért \(\displaystyle a,b,c\) egyike sem 0, és vagy mindhárom pozitív, vagy pontosan egyikük pozitív. Előbbi esetben készen vagyunk, tegyük fel indirekten, hogy pontosan egyikük pozitív. A szimmetria alapján feltehető, hogy \(\displaystyle a,b\) negatívak, \(\displaystyle c\) pedig pozitív. Legyen \(\displaystyle a=-A,b=-B\), ekkor \(\displaystyle A,B,c\) pozitívak. Mivel \(\displaystyle a+b+c>0\), ezért \(\displaystyle c>A+B\). Mivel \(\displaystyle ab+bc+ca>0\), ezért \(\displaystyle AB>Ac+Bc=(A+B)c\). A korábbiak szerint \(\displaystyle c>A+B\), ezért \(\displaystyle (A+B)c>(A+B)^2=A^2+2AB+B^2\). Így kapjuk, hogy \(\displaystyle AB>(A+B)c>A^2+2AB+B^2\), amiből \(\displaystyle 0>A^2+AB+B^2\), ami ellentmondás, hiszen \(\displaystyle A,B\) pozitív számok. Ez az ellentmondás mutatja, hogy valójában csak az a lehetőség fordulhat elő, hogy \(\displaystyle a,b,c\) pozitívak.
2. megoldás. Tekintsük a \(\displaystyle p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\) polinomot, ennek gyökei \(\displaystyle a,b,c\). Mivel \(\displaystyle p(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc\), ezért ha \(\displaystyle x\leq 0\), akkor \(\displaystyle p(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc<0\), hiszen az első három tag nem pozitív, a konstanstag pedig negatív. Vagyis \(\displaystyle p\)-nek csak pozitív gyökei lehetnek, és így \(\displaystyle a,b,c\) valóban pozitívak.
Statisztika:
254 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 126 versenyző. 4 pontot kapott: 31 versenyző. 3 pontot kapott: 24 versenyző. 2 pontot kapott: 27 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 12 versenyző. Nem versenyszerű: 21 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai