A C. 1630. feladat (2020. november)

C. 1630. Egy sakktábla fehér mezőire ráírtuk a számokat 1-től 32-ig úgy, hogy minden mezőbe csak egy számot írtunk, és az összes számot felhasználtuk. Ezt követően a fekete mezőkre beírtuk a szomszédos mezőkben található számok összegét. Mekkora a fekete mezőkbe írt számok összegének lehetséges legkisebb és legnagyobb értéke?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Amikor a fekete mezőkbe írt számokat összeadjuk, egy adott fehér mezőbe írt számot annyiszor kell vennünk, ahány fekete szomszédja van a fehér mezőnek. Minden fehér mező 2, 3, vagy 4 fekete mezővel szomszédos:

2-vel szomszédos 2 darab (a 2 átellenes fehér sarokmező),
3-mal szomszédos 12 darab (a többi, a tábla szélén lévő fehér mező),
4-gyel szomszédos 18 darab (a többi fehér mező).

Ha a 2-2 szomszédos fekete mezővel rendelkező mezőkbe az $\displaystyle a_1,a_2$ értékek kerülnek, a 3-3 szomszéddal rendelkezőkbe $\displaystyle a_3,a_4,\dots,a_{14}$ , a 4-4 szomszéddal rendelkezőkbe pedig $\displaystyle a_{15},\dots,a_{32}$ , akkor a kapott összeg:

$\displaystyle 2a_1+2a_2+3a_3+\dots+3a_{14}+4a_{15}+\dots+4a_{32}.$

Világos, hogy akkor kapjuk a legkisebb összeget, ha a legkevesebb szomszéddal rendelkező helyekre kerülnek a legnagyobb értékek, a legtöbb szomszéddal rendelkező helyekre pedig a legkisebb értékek (ezt egyben az úgynevezett rendezési tétel is kimondja), vagyis ha $\displaystyle \{a_1,a_2\}=\{31,32\}$ , $\displaystyle \{a_3,\dots,a_{14}\}=\{19, \dots ,30\}$ , $\displaystyle \{ a_{15},\dots,a_{32}\}=\{1,\dots,18\}$ . Ez úgy is látható, hogy

$\begin{multline*}2a_1+2a_2+3a_3+\dots+3a_{14}+4a_{15}+\dots+4a_{32}=3(a_1+\dots+a_{32})-(a_1+a_2)+(a_{15}+\dots+a_{32})=\\ =3(1+2+\dots+32)-(a_1+a_2)+(a_{15}+\dots+a_{32})\geq 3(1+2+\dots+32)-(31+32)+(1+2+\dots+18) ,\end{multline*}$

ahol egyenlőség éppen a fenti esetben áll fenn.

Ekkor az összeg értéke:

$\displaystyle 2(31+32)+3(19+20+\dots+30)+4(1+2+\dots+18)=2\cdot 63+3\cdot 294+4\cdot 171=1692.$

Ehhez hasonlóan, a legnagyobb összeg pedig akkor adódik, amikor a legkevesebb szomszéddal rendelkező helyekre a legkisebb értékek kerülnek, a legtöbb szomszéddal rendelkező helyekre pedig a legnagyobb értékek (ismét hivatkozhatunk a rendezési tételre is), vagyis ha $\displaystyle \{a_1,a_2\}=\{1,2\}$ , $\displaystyle \{a_3,\dots,a_{14}\}=\{3, \dots ,14\}$ , $\displaystyle \{ a_{15},\dots,a_{32}\}=\{15,\dots,32\}$ . Ekkor az összeg értéke:

$\displaystyle 2(1+2)+3(3+4+\dots+14)+4(15+16+\dots+32)=2\cdot 3+3\cdot 102+4\cdot 423=2004.$

Tehát a fekete mezőkbe írt számok összegének lehetséges legkisebb értéke 1692, lehetséges legnagyobb értéke pedig 2004.

Statisztika:

206 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 112 versenyző.

4 pontot kapott: 21 versenyző.

3 pontot kapott: 15 versenyző.

2 pontot kapott: 11 versenyző.

1 pontot kapott: 9 versenyző.

0 pontot kapott: 18 versenyző.

Nem versenyszerű: 17 dolgozat.

Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 3 dolgozat.

A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai

206 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	112 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	18 versenyző.
Nem versenyszerű:	17 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?