 |
A C. 1630. feladat (2020. november) |
C. 1630. Egy sakktábla fehér mezőire ráírtuk a számokat 1-től 32-ig úgy, hogy minden mezőbe csak egy számot írtunk, és az összes számot felhasználtuk. Ezt követően a fekete mezőkre beírtuk a szomszédos mezőkben található számok összegét. Mekkora a fekete mezőkbe írt számok összegének lehetséges legkisebb és legnagyobb értéke?
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Amikor a fekete mezőkbe írt számokat összeadjuk, egy adott fehér mezőbe írt számot annyiszor kell vennünk, ahány fekete szomszédja van a fehér mezőnek. Minden fehér mező 2, 3, vagy 4 fekete mezővel szomszédos:
- 2-vel szomszédos 2 darab (a 2 átellenes fehér sarokmező),
- 3-mal szomszédos 12 darab (a többi, a tábla szélén lévő fehér mező),
- 4-gyel szomszédos 18 darab (a többi fehér mező).
Ha a 2-2 szomszédos fekete mezővel rendelkező mezőkbe az \(\displaystyle a_1,a_2\) értékek kerülnek, a 3-3 szomszéddal rendelkezőkbe \(\displaystyle a_3,a_4,\dots,a_{14}\), a 4-4 szomszéddal rendelkezőkbe pedig \(\displaystyle a_{15},\dots,a_{32}\), akkor a kapott összeg:
\(\displaystyle 2a_1+2a_2+3a_3+\dots+3a_{14}+4a_{15}+\dots+4a_{32}.\)
Világos, hogy akkor kapjuk a legkisebb összeget, ha a legkevesebb szomszéddal rendelkező helyekre kerülnek a legnagyobb értékek, a legtöbb szomszéddal rendelkező helyekre pedig a legkisebb értékek (ezt egyben az úgynevezett rendezési tétel is kimondja), vagyis ha \(\displaystyle \{a_1,a_2\}=\{31,32\}\), \(\displaystyle \{a_3,\dots,a_{14}\}=\{19, \dots ,30\}\), \(\displaystyle \{ a_{15},\dots,a_{32}\}=\{1,\dots,18\}\). Ez úgy is látható, hogy
$$\begin{multline*}2a_1+2a_2+3a_3+\dots+3a_{14}+4a_{15}+\dots+4a_{32}=3(a_1+\dots+a_{32})-(a_1+a_2)+(a_{15}+\dots+a_{32})=\\ =3(1+2+\dots+32)-(a_1+a_2)+(a_{15}+\dots+a_{32})\geq 3(1+2+\dots+32)-(31+32)+(1+2+\dots+18) ,\end{multline*}$$ahol egyenlőség éppen a fenti esetben áll fenn.
Ekkor az összeg értéke:
\(\displaystyle 2(31+32)+3(19+20+\dots+30)+4(1+2+\dots+18)=2\cdot 63+3\cdot 294+4\cdot 171=1692.\)
Ehhez hasonlóan, a legnagyobb összeg pedig akkor adódik, amikor a legkevesebb szomszéddal rendelkező helyekre a legkisebb értékek kerülnek, a legtöbb szomszéddal rendelkező helyekre pedig a legnagyobb értékek (ismét hivatkozhatunk a rendezési tételre is), vagyis ha \(\displaystyle \{a_1,a_2\}=\{1,2\}\), \(\displaystyle \{a_3,\dots,a_{14}\}=\{3, \dots ,14\}\), \(\displaystyle \{ a_{15},\dots,a_{32}\}=\{15,\dots,32\}\). Ekkor az összeg értéke:
\(\displaystyle 2(1+2)+3(3+4+\dots+14)+4(15+16+\dots+32)=2\cdot 3+3\cdot 102+4\cdot 423=2004.\)
Tehát a fekete mezőkbe írt számok összegének lehetséges legkisebb értéke 1692, lehetséges legnagyobb értéke pedig 2004.
Statisztika:
206 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 112 versenyző. 4 pontot kapott: 21 versenyző. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 18 versenyző. Nem versenyszerű: 17 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 3 dolgozat.
A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai