A C. 1634. feladat (2020. november)

C. 1634. Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenséget:

$\displaystyle \frac{1}{4} +\frac{1}{28} +\frac{1}{70} +\ldots +\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} +\ldots +\frac{1}{2017\cdot 2020} < \frac{1}{3}.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Írjuk fel az összeg $\displaystyle k$-adik tagját

$\displaystyle \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac13 \left( \frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1} \right)$

alakban az összes (673 darab) tagra, így a bal oldalon egy teleszkopikus összeget kapunk:

$\displaystyle \frac13 \left( \frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10} + \dots+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2020} \right)=\frac13 \left( 1-\frac{1}{2020} \right),$

ami valóban kisebb $\displaystyle \frac13$-nál, értéke egészen pontosan $\displaystyle \frac13-\frac{1}{6060}$. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Statisztika:

183 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	129 versenyző.
4 pontot kapott:	25 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai