A C. 1635. feladat (2020. november)

C. 1635. Adott két egymást metsző kör. Egyik metszéspontjukon át szerkesszünk (körzővel, vonalzóval: papíron, vagy számítógépes geometriai szerkesztő programmal) olyan szelőt, amelynek a két kör által határolt szakaszát a kiszemelt metszéspont harmadolja. Írjuk le és indokoljuk a szerkesztés lépéseit (az elemi szerkesztési lépéseket, mint pl. szög felezése, tengelyes tükrözés, nem kell részletezni).

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a két kör \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k'\), a megfelelő középpontok \(\displaystyle O\) és \(\displaystyle O'\), a két kör kiszemelt metszéspontja \(\displaystyle A\).
Az \(\displaystyle A\) ponton áthaladó szelőnek a \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k'\) körökkel való második metszéspontjai legyenek rendre \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\).
Az \(\displaystyle A\) pont harmadolja a \(\displaystyle BC\) szakaszt, eszerint két lehetőség van: a \(\displaystyle BC\) szakasznak az \(\displaystyle A\) pont
a) a \(\displaystyle B\)-hez közelebb eső harmadolópontja,
b) a \(\displaystyle B\)-től távolabbi harmadolópontja.
Az a) esetben az \(\displaystyle AB\) szakasz hossza fele az \(\displaystyle AC\) szakasz hosszának. Így az \(\displaystyle AC\) felezőpontját \(\displaystyle D_1\)-gyel jelölve \(\displaystyle AB=AD_1=CD_1 \). Az \(\displaystyle O'D_1\) szakasz tehát felezi a \(\displaystyle k'\) kör \(\displaystyle AC\) húrját, de akkor merőleges is rá (1. ábra).

1. ábra

Nyilvánvaló, hogy a \(\displaystyle B\) pontnak az \(\displaystyle A\)-ra vonatkozó tükörképe \(\displaystyle D_1\). Mivel a \(\displaystyle B\) pont nem adott, ezért a \(\displaystyle k\) kört tükrözzük az \(\displaystyle A\)-ra, ekkor kapjuk a \(\displaystyle k_1\) kört. A \(\displaystyle D_1\) pont nem más, mint a \(\displaystyle O'A\) szakasz mint átmérő fölé rajzolt \(\displaystyle d_1\) Thalész-kör és \(\displaystyle k_1\) metszéspontja. A \(\displaystyle D_1\) és \(\displaystyle A\) pontot összekötve megkapjuk a kívánt szelőt.

A szerkesztés módját tekintve teljesen hasonló módon járhatunk el a b) esetben is, de ekkor a \(\displaystyle k'\) körnek az \(\displaystyle A\)-ra vonatkozó tükörképe a \(\displaystyle k_2\) kör, ennek a körnek és az \(\displaystyle AO\) mint átmérő fölé rajzolt \(\displaystyle d_2\) Thalész-körnek a metszéspontja a \(\displaystyle D_2\), és a szerkesztés miatt egyrészt \(\displaystyle D_2\) felezi az \(\displaystyle AB\) szakaszt, másrészt \(\displaystyle AC=AD_2=BD_2\) (2. ábra).

2. ábra

A keresett szelőt az \(\displaystyle AD_2\) egyenesének megrajzolásával szerkeszthetjük meg.
Mind az a), mind a b) esetben egy megoldás van.
Például, mivel a \(\displaystyle d_1\) kör biztosan érinti a \(\displaystyle k'\) kört (az \(\displaystyle A\) pontban), és ha érintené a \(\displaystyle k_1\)-et is, akkor az csak az \(\displaystyle A\) pontban volna lehetséges, de akkor érintenie kellene a \(\displaystyle k_1\)-nek az \(\displaystyle A\)-ra vonatkozó tükörképét, vagyis a \(\displaystyle k\) kört. Ez azonban azt jelentené, hogy \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k'\) is érintik egymást \(\displaystyle A\)-ban, ez viszont ellentmond annak a feltételnek, hogy \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k'\) két pontban metszik egymást. Ezért \(\displaystyle d_1\)-nek és \(\displaystyle k'\)-nek az \(\displaystyle A\) ponton kívül még van egy közös pontja, ez éppen \(\displaystyle D_1\).
Hasonlóan indokolhatjuk, hogy a b) esetben is egy megoldás van.

Megjegyzések.
1. Ha a \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k'\) körök másik metszéspontját is figyelembe vesszük, akkor újabb két megoldást kapunk.
2. Ha a \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k'\) körök az \(\displaystyle A\)-ban érintenék egymást, akkor előfordulhatna, hogy a feladatnak nincs megoldása, de az is, hogy végtelen sok megoldása van. Utóbbi éppen akkor következne be, ha a két kör sugarának aránya \(\displaystyle 1:2\) lenne.

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Biró 424 Ádám, Dobi Dorina Lili, Egyházi Hanna, Féger Tamás, Fonyi Máté Sándor, Kadem Aziz, Molnár Réka, Schneider Anna.
4 pontot kapott:	Andó Lujza, Fekete András Albert, Szalanics Tamás, Téglás Panna.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai