 |
A C. 1635. feladat (2020. november) |
C. 1635. Adott két egymást metsző kör. Egyik metszéspontjukon át szerkesszünk (körzővel, vonalzóval: papíron, vagy számítógépes geometriai szerkesztő programmal) olyan szelőt, amelynek a két kör által határolt szakaszát a kiszemelt metszéspont harmadolja. Írjuk le és indokoljuk a szerkesztés lépéseit (az elemi szerkesztési lépéseket, mint pl. szög felezése, tengelyes tükrözés, nem kell részletezni).
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a két kör k és k′, a megfelelő középpontok O és O′, a két kör kiszemelt metszéspontja A.
Az A ponton áthaladó szelőnek a k és k′ körökkel való második metszéspontjai legyenek rendre B és C.
Az A pont harmadolja a BC szakaszt, eszerint két lehetőség van: a BC szakasznak az A pont
a) a B-hez közelebb eső harmadolópontja,
b) a B-től távolabbi harmadolópontja.
Az a) esetben az AB szakasz hossza fele az AC szakasz hosszának. Így az AC felezőpontját D1-gyel jelölve AB=AD1=CD1. Az O′D1 szakasz tehát felezi a k′ kör AC húrját, de akkor merőleges is rá (1. ábra).
1. ábra
Nyilvánvaló, hogy a B pontnak az A-ra vonatkozó tükörképe D1. Mivel a B pont nem adott, ezért a k kört tükrözzük az A-ra, ekkor kapjuk a k1 kört. A D1 pont nem más, mint a O′A szakasz mint átmérő fölé rajzolt d1 Thalész-kör és k1 metszéspontja. A D1 és A pontot összekötve megkapjuk a kívánt szelőt.
A szerkesztés módját tekintve teljesen hasonló módon járhatunk el a b) esetben is, de ekkor a k′ körnek az A-ra vonatkozó tükörképe a k2 kör, ennek a körnek és az AO mint átmérő fölé rajzolt d2 Thalész-körnek a metszéspontja a D2, és a szerkesztés miatt egyrészt D2 felezi az AB szakaszt, másrészt AC=AD2=BD2 (2. ábra).
2. ábra
A keresett szelőt az AD2 egyenesének megrajzolásával szerkeszthetjük meg.
Mind az a), mind a b) esetben egy megoldás van.
Például, mivel a d1 kör biztosan érinti a k′ kört (az A pontban), és ha érintené a k1-et is, akkor az csak az A pontban volna lehetséges, de akkor érintenie kellene a k1-nek az A-ra vonatkozó tükörképét, vagyis a k kört. Ez azonban azt jelentené, hogy k és k′ is érintik egymást A-ban, ez viszont ellentmond annak a feltételnek, hogy k és k′ két pontban metszik egymást. Ezért d1-nek és k′-nek az A ponton kívül még van egy közös pontja, ez éppen D1.
Hasonlóan indokolhatjuk, hogy a b) esetben is egy megoldás van.
Megjegyzések.
1. Ha a k és k′ körök másik metszéspontját is figyelembe vesszük, akkor újabb két megoldást kapunk.
2. Ha a k és k′ körök az A-ban érintenék egymást, akkor előfordulhatna, hogy a feladatnak nincs megoldása, de az is, hogy végtelen sok megoldása van. Utóbbi éppen akkor következne be, ha a két kör sugarának aránya 1:2 lenne.
Statisztika:
20 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Biró 424 Ádám, Dobi Dorina Lili, Egyházi Hanna, Féger Tamás, Fonyi Máté Sándor, Kadem Aziz, Molnár Réka, Schneider Anna. 4 pontot kapott: Andó Lujza, Fekete András Albert, Szalanics Tamás, Téglás Panna. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai
|
|