A C. 1651. feladat (2021. február)

C. 1651. Egy számsorozat tagjait a következő módon képezzük: a sorozat első tagja $\displaystyle 895$, a következő tagot pedig mindig úgy kapjuk, hogy az előző tag számjegyeinek összegét megszorozzuk $\displaystyle 61$-gyel. Határozzuk meg a sorozat $\displaystyle 2021$. tagját és az első $\displaystyle 2021$ tag összegét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Számoljuk ki a sorozat első néhány tagját $\displaystyle a_1=895$-től kezdve, amíg ismétlődéshez nem jutunk:

$\displaystyle a_2=61\cdot (8+9+5)=1342,$

$\displaystyle a_3=61\cdot (1+3+4+2)=610,$

$\displaystyle a_4=61\cdot (6+1+0)=427,$

$\displaystyle a_5=61\cdot (4+2+7)=793,$

$\displaystyle a_6=61\cdot (7+9+3)=1159,$

$\displaystyle a_7=61\cdot (1+1+5+9)=976,$

$\displaystyle a_8=61\cdot (9+7+6)=1342=a_2.$

Innen pedig az értékek ciklikusan ismétlődnek. Tehát a 895 után egy hat hosszú ciklus (1342, 610, 427, 793, 1159, 976) ismétlődik periodikusan.

A 2021 szám 6-os maradéka 5, így $\displaystyle a_{2021}=a_5=793$.

Az első 2021 tag közül a legelső a 895, utána a fenti hat hosszú ciklus ismétlődik 336-szor ($\displaystyle a_2,a_3,\dots,a_{2017}$), végül a soron következő tagok: $\displaystyle a_{2018}=a_2=1342$, $\displaystyle a_{2019}=a_3=610$, $\displaystyle a_{2020}=a_4=427$, $\displaystyle a_{2021}=a_5=793$. Az első 2021 tag összege tehát:

$\displaystyle 895+(1342+610+427+793+1159+976)\cdot 336+1342+610+427+793=1\,787\,219.$

A sorozat 2021-edik tagja 793, az első 2021 tag összege pedig $\displaystyle 1\,787\,219$.

Statisztika:

176 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	128 versenyző.
4 pontot kapott:	23 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai