A C. 1653. feladat (2021. február)

C. 1653. Hány megoldása van az egész számpárok körében az

$\displaystyle |x|+|y|<2021$

egyenlőtlenségnek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Mivel egész megoldásokat keresünk, a feladat ekvivalens az

$\displaystyle |x|+|y|\leq2020$

egyenlőtlenséggel.

Számoljuk össze először, hogy hány megoldás van $\displaystyle x,y>0$ esetén. Ha $\displaystyle x=2020$, akkor $\displaystyle y$ értéke csak $\displaystyle 0$ lehetne.
Ha $\displaystyle x=2019$, akkor $\displaystyle y$ értéke csak $\displaystyle 1$ lehet, ez 1 eset.
Ha $\displaystyle x=2018$, akkor $\displaystyle y$ értéke $\displaystyle 1$ vagy $\displaystyle 2$ lehet, ez 2 eset.
És így tovább, $\displaystyle x$ értékét mindig 1-gyel csökkentve $\displaystyle y$ eggyel többféle értéket vehet fel. Ha $\displaystyle x=1$, akkor $\displaystyle y$ értéke lehet $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, ..., $\displaystyle 2019$.

Ez összesen

$\displaystyle 1+2+3...+2019=\frac{(1+2019)\cdot2019}{2}=\frac{2020\cdot2019}{2}=2\,039\,190$

lehetőség.

Minden egyes $\displaystyle (a;b)$ számpárhoz, ahol $\displaystyle a,b>0$ tartozik három másik megfelelő számpár: $\displaystyle (-a;b)$, $\displaystyle (a;-b)$ és $\displaystyle (b;-a)$, tehát az előbb kapott esetek négyszerese azon számpárok halmaza, ahol egyik szám sem 0.

Ha $\displaystyle x=0$, akkor $\displaystyle y$ értéke $\displaystyle -2020$ és $\displaystyle 2020$ között bármilyen egész szám lehet, ez 4041 eset. Ha $\displaystyle y=0$, az ugyanígy 4041 eset, de a $\displaystyle (0;0)$ esetet mindkettőbe beleszámoltuk.

Tehát a kérdéses számpárok száma összesen:

$\displaystyle 4\cdot2\,039\,190+2\cdot4041-1=8\,164\,841.$

Megjegyzés. Sokan az $\displaystyle x,y\geq0$ esetet számolták össze, szorozták 4-gyel, majd az eredményből kivonták a többször számolt számpárokat (a tengelyeken lévőket kétszer, míg a (0;0) párt négyszer számoltuk így). A számolás:

$\displaystyle 4\cdot\frac{(1+2021)\cdot2021}{2}-2\cdot4041-1=4\cdot2\,043\,231-8083=8\,164\,841.$

2. megoldás. Keressük az

$\displaystyle |x|+|y|<n$

egyenlőtlenség megoldásainak számát.

Az $\displaystyle x$ tengely felett lévő (piros) pontok száma:

$\displaystyle 1+3+...+(1+2\cdot(n-2))=\frac{(1+(2n-3))\cdot(n-1)}{2}=(n-1)^2.$

Ennek kétszerese a kék és piros pontok száma együtt: $\displaystyle 2(n-1)^2$.

Az $\displaystyle x$ tengelyen lévő (fekete) pontok száma: $\displaystyle 2(n-1)+1=2n-1$.

Összesen $\displaystyle 2(n-1)^2+2n-1=2n^2-2n+1$ ilyen számpár van, ami $\displaystyle n=2021$ esetén $\displaystyle 2\cdot2021^2-2\cdot2021+1=8\,164\,841$.

3. megoldás. Szemléltessük a pontokat a koordinátarendszerben. Tekintsük a feladatot általánosan: keressük az

$\displaystyle |x|+|y|<n$

egyenlőtlenség megoldásait az egész számpárok körében.

A megoldások két ,,ferde rácsnégyzet'' rácspontjai lesznek, az egyikben kékkel, a másikban pirossal jelöltük a rácspontokat. A kék rácsnégyzet oldalain éppen $\displaystyle n$ darab rácspont, a piros oldalain pedig $\displaystyle n-1$ darab rácspont van, így a rácspontok, és így a megfelelő számpárok száma összesen:

$\displaystyle n^2+(n-1)^2=2021^2+2020^2=8\,164\,841.$

4. megoldás. Ha $\displaystyle x,y$ olyan egészek, melyekre $\displaystyle |x|+|y|<2021$, akkor $\displaystyle |x|+|y|$ értéke $\displaystyle 0,1,\dots,2020$ lehet. Legyen most $\displaystyle 0\leq k\leq 2020$, és határozzuk meg, hány egész számpárra lesz $\displaystyle |x|+|y|=k$.

Ha $\displaystyle k=0$, akkor csak egyre: $\displaystyle (x,y)=(0,0)$ esetén. Ha $\displaystyle 0<k$ egész szám, akkor $\displaystyle x$ értékére biztosan $\displaystyle -k\leq x\leq k$. Ha $\displaystyle x=k$ vagy $\displaystyle x=-k$, akkor $\displaystyle y=0$ kell legyen, ha pedig $\displaystyle -k<x<k$, akkor $\displaystyle y=k-|x|$ és $\displaystyle y=|x|-k$ lesznek megfelelők. Így két olyan $\displaystyle x$ érték van, amihez egyetlen megfelelő $\displaystyle y$ található, és $\displaystyle 2k-1$ olyan $\displaystyle x$ érték van, melyhez kettő-kettő megfelelő $\displaystyle y$ található. Vagyis az $\displaystyle |x|+|y|=k$ egyenlet egész megoldásainak száma $\displaystyle 2\cdot 1+(2k-1)\cdot 2=4k$.

Ezek alapján az $\displaystyle |x|+|y|<2021$ egyenlőtlenség egész megoldásainak száma $\displaystyle 1+4+8+\dots+4\cdot 2020=1+4\cdot \frac{2020\cdot 2021}{2}=8\,164\,841$.

Statisztika:

186 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	93 versenyző.
4 pontot kapott:	22 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	25 versenyző.
Nem versenyszerű:	12 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai