 |
A C. 1653. feladat (2021. február) |
C. 1653. Hány megoldása van az egész számpárok körében az
\(\displaystyle |x|+|y|<2021 \)
egyenlőtlenségnek?
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. Mivel egész megoldásokat keresünk, a feladat ekvivalens az
\(\displaystyle |x|+|y|\leq2020\)
egyenlőtlenséggel.
Számoljuk össze először, hogy hány megoldás van \(\displaystyle x,y>0\) esetén. Ha \(\displaystyle x=2020\), akkor \(\displaystyle y\) értéke csak \(\displaystyle 0\) lehetne.
Ha \(\displaystyle x=2019\), akkor \(\displaystyle y\) értéke csak \(\displaystyle 1\) lehet, ez 1 eset.
Ha \(\displaystyle x=2018\), akkor \(\displaystyle y\) értéke \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 2\) lehet, ez 2 eset.
És így tovább, \(\displaystyle x\) értékét mindig 1-gyel csökkentve \(\displaystyle y\) eggyel többféle értéket vehet fel. Ha \(\displaystyle x=1\), akkor \(\displaystyle y\) értéke lehet \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), ..., \(\displaystyle 2019\).
Ez összesen
\(\displaystyle 1+2+3...+2019=\frac{(1+2019)\cdot2019}{2}=\frac{2020\cdot2019}{2}=2\,039\,190\)
lehetőség.
Minden egyes \(\displaystyle (a;b)\) számpárhoz, ahol \(\displaystyle a,b>0\) tartozik három másik megfelelő számpár: \(\displaystyle (-a;b)\), \(\displaystyle (a;-b)\) és \(\displaystyle (b;-a)\), tehát az előbb kapott esetek négyszerese azon számpárok halmaza, ahol egyik szám sem 0.
Ha \(\displaystyle x=0\), akkor \(\displaystyle y\) értéke \(\displaystyle -2020\) és \(\displaystyle 2020\) között bármilyen egész szám lehet, ez 4041 eset. Ha \(\displaystyle y=0\), az ugyanígy 4041 eset, de a \(\displaystyle (0;0)\) esetet mindkettőbe beleszámoltuk.
Tehát a kérdéses számpárok száma összesen:
\(\displaystyle 4\cdot2\,039\,190+2\cdot4041-1=8\,164\,841.\)
Megjegyzés. Sokan az \(\displaystyle x,y\geq0\) esetet számolták össze, szorozták 4-gyel, majd az eredményből kivonták a többször számolt számpárokat (a tengelyeken lévőket kétszer, míg a (0;0) párt négyszer számoltuk így). A számolás:
\(\displaystyle 4\cdot\frac{(1+2021)\cdot2021}{2}-2\cdot4041-1=4\cdot2\,043\,231-8083=8\,164\,841.\)
2. megoldás. Keressük az
\(\displaystyle |x|+|y|<n\)
egyenlőtlenség megoldásainak számát.
Az \(\displaystyle x\) tengely felett lévő (piros) pontok száma:
\(\displaystyle 1+3+...+(1+2\cdot(n-2))=\frac{(1+(2n-3))\cdot(n-1)}{2}=(n-1)^2.\)
Ennek kétszerese a kék és piros pontok száma együtt: \(\displaystyle 2(n-1)^2\).
Az \(\displaystyle x\) tengelyen lévő (fekete) pontok száma: \(\displaystyle 2(n-1)+1=2n-1\).
Összesen \(\displaystyle 2(n-1)^2+2n-1=2n^2-2n+1\) ilyen számpár van, ami \(\displaystyle n=2021\) esetén \(\displaystyle 2\cdot2021^2-2\cdot2021+1=8\,164\,841\).
3. megoldás. Szemléltessük a pontokat a koordinátarendszerben. Tekintsük a feladatot általánosan: keressük az
\(\displaystyle |x|+|y|<n\)
egyenlőtlenség megoldásait az egész számpárok körében.
A megoldások két ,,ferde rácsnégyzet'' rácspontjai lesznek, az egyikben kékkel, a másikban pirossal jelöltük a rácspontokat. A kék rácsnégyzet oldalain éppen \(\displaystyle n\) darab rácspont, a piros oldalain pedig \(\displaystyle n-1\) darab rácspont van, így a rácspontok, és így a megfelelő számpárok száma összesen:
\(\displaystyle n^2+(n-1)^2=2021^2+2020^2=8\,164\,841.\)
4. megoldás. Ha \(\displaystyle x,y\) olyan egészek, melyekre \(\displaystyle |x|+|y|<2021\), akkor \(\displaystyle |x|+|y|\) értéke \(\displaystyle 0,1,\dots,2020\) lehet. Legyen most \(\displaystyle 0\leq k\leq 2020\), és határozzuk meg, hány egész számpárra lesz \(\displaystyle |x|+|y|=k\).
Ha \(\displaystyle k=0\), akkor csak egyre: \(\displaystyle (x,y)=(0,0)\) esetén. Ha \(\displaystyle 0<k\) egész szám, akkor \(\displaystyle x\) értékére biztosan \(\displaystyle -k\leq x\leq k\). Ha \(\displaystyle x=k\) vagy \(\displaystyle x=-k\), akkor \(\displaystyle y=0\) kell legyen, ha pedig \(\displaystyle -k<x<k\), akkor \(\displaystyle y=k-|x|\) és \(\displaystyle y=|x|-k\) lesznek megfelelők. Így két olyan \(\displaystyle x\) érték van, amihez egyetlen megfelelő \(\displaystyle y\) található, és \(\displaystyle 2k-1\) olyan \(\displaystyle x\) érték van, melyhez kettő-kettő megfelelő \(\displaystyle y\) található. Vagyis az \(\displaystyle |x|+|y|=k\) egyenlet egész megoldásainak száma \(\displaystyle 2\cdot 1+(2k-1)\cdot 2=4k\).
Ezek alapján az \(\displaystyle |x|+|y|<2021\) egyenlőtlenség egész megoldásainak száma \(\displaystyle 1+4+8+\dots+4\cdot 2020=1+4\cdot \frac{2020\cdot 2021}{2}=8\,164\,841\).
Statisztika:
186 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 93 versenyző. 4 pontot kapott: 22 versenyző. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 25 versenyző. Nem versenyszerű: 12 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2021. februári matematika feladatai