A C. 1654. feladat (2021. február)

C. 1654. Adjuk meg azoknak a köröknek a sugarát, amelyek érintik az $\displaystyle f(x)=\frac{3x-6}{4}$ és a $\displaystyle g(x)=\frac{28-4x}{3}$ függvények grafikonját, valamint az $\displaystyle x$ tengelyt.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle f(x)$ és $\displaystyle g(x)$ függvények képe a derékszögű koordináta-rendszerben egy-egy egyenes, legyenek ezek rendre $\displaystyle f$ és $\displaystyle g$. A függvények hozzárendelési szabályából leolvashatóan az $\displaystyle f$ és $\displaystyle g$ egyenesek meredeksége:

$\displaystyle m_f=\frac{3}{4};\qquad{m_g=-\frac{4}{3}}.$

Ha két egyenesnek létezik meredeksége, akkor a két egyenes pontosan akkor merőleges egymásra, ha a meredekségeik szorzata $\displaystyle -1$. Ez a feladatbeli két egyenesnél fennáll, hiszen

$\displaystyle m_f\cdot{m_g}=\frac{3}{4}\cdot\Bigg(-\frac{4}{3}\Bigg)=-1.$

Legyenek az $\displaystyle f$ és $\displaystyle g$ egyenesnek az $\displaystyle x$ tengellyel való metszéspontjai rendre $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$, a két egyenes metszéspontja pedig $\displaystyle C$.

A

$\displaystyle \frac{3x-6}{4}=0;\qquad{\frac{28-4x}{3}=0}$

egyenletekből azt kapjuk, hogy az $\displaystyle A$, illetve $\displaystyle B$ pontok koordinátái:

A

$\displaystyle \frac{3x-6}{4}=\frac{28-4x}{3}$

egyenlet megoldása $\displaystyle x=5,2$, ez a $\displaystyle C$ pont első koordinátája, innen visszahelyettesítéssel kapjuk a $\displaystyle C$ pont második koordinátáját. Így

Tekintsük most a feladat feltételeinek megfelelő ábrát.

A továbbiakban kiszámítjuk az $\displaystyle ABC$ derékszögű háromszög oldalainak hosszát és a háromszög területét. Az ábrából könyen leolvasható, hogy $\displaystyle AB=5$. A $\displaystyle BC$ távolságot a két, koordinátáival adott pont távolságképletéből kapjuk:

$\displaystyle BC=\sqrt{(7-5,2)^2+(0-2,4)^2}=3,$

így az $\displaystyle AC$ távolság a Pitagorasz-tétel alkalmazásával:

$\displaystyle AC=4.$

Eredményeink segítségével megadhatjuk az $\displaystyle ABC$ háromszög kerületét és területét:

$\displaystyle K_{ABC}=12;\qquad T_{ABC}=6.$

A feladatban szereplő függvények grafikonját és az $\displaystyle x$ tengelyt érintő körök nem mások, mint az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle K$ középpontú beírt köre és az oldalaihoz hozzáírt, $\displaystyle K_a, K_b, K_c$ középpontú körök. A körök sugarai, mint ismeretes

$\displaystyle r=\frac{T_{ABC}}{s},\qquad{R_a=\frac{T_{ABC}}{s-a}},\qquad{R_b=\frac{T_{ABC}}{s-b}},\qquad{R_c=\frac{T_{ABC}}{s-c}},$

ahol $\displaystyle s=6$ az $\displaystyle ABC$ háromszög félkerülete. A terület és a kerület ismeretében ezek egyszerűen kiszámíthatók:

$\displaystyle r=6/6=1,\qquad{R_a=6/3=2},\qquad{R_b=6/2=3},\qquad{R_c=6/1=6}.$

Statisztika:

125 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	74 versenyző.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai