A C. 1656. feladat (2021. február)

C. 1656. Egy számtani sorozat három szomszédos tagja 3-nál nagyobb prímszám. Mutassuk meg, hogy a sorozat differenciája osztható hárommal.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Ha a három elem megegyezik, akkor készen vagyunk, Ha különbözőek, akkor legyen a három prím \(\displaystyle p_1<p_2<p_3\) és a differencia d, ekkor \(\displaystyle p_2=p_1+d\) és \(\displaystyle p_3=p_1+2d\).

Ha a \(\displaystyle d\) szám \(\displaystyle 3k+1\), alakú, akkor a három prím \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle p_1+3k+1\) és \(\displaystyle p_1+6k+2\), ezek 3-mal vett osztási maradékai \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle p_1+1\) és \(\displaystyle p_1+2\). Mivel ez három egymást követő szám, ezért legalább az egyik osztható 3-mal, de mivel ezek 3-nál nagyobb prímszámok, ezért ez nem lehetséges. Vagyis \(\displaystyle d\) nem lehet \(\displaystyle 3k+1\) alakú.

Ha a \(\displaystyle d\) szám \(\displaystyle 3k+2\), alakú, akkor a három prím \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle p_1+3k+2\) és \(\displaystyle p_1+6k+4=p_1+6k+3+1\), ezek 3-mal vett osztási maradékai \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle p_1+2\) és \(\displaystyle p_1+1\). Mivel ez három egymást követő szám, ezért legalább az egyik osztható 3-mal, de mivel ezek 3-nál nagyobb prímszámok, ezért ez nem lehetséges. Vagyis \(\displaystyle d\) nem lehet \(\displaystyle 3k+2\) alakú.

Vagyis a differencia tényleg \(\displaystyle 3k\) alakú, azaz osztható 3-mal.

Kadem Aziz (Veszprém, Lovassy László Gimn., 12. évf.)

2. megoldás. Mivel nincsen 3-nál nagyobb 3-mal osztható prímszám, ezért a kérdéses tagok 3-as maradéka csak 1 vagy 2 lehet. A skatulya-elv alapján biztosan lesz kettő, melyek 3-as maradéka egyezik. Ha ezek szomszédosak, akkor különbségüket véve kapjuk, hogy a számtani sorozat differenciája 3-mal osztható. Ha nem szomszédosak, akkor pedig az adódik, hogy a számtani sorozat differenciájának 2-szerese 3-mal osztható, amiből szintén következik, hogy a differencia 3-mal osztható.

Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Statisztika:

39 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Albert Ákos, Andó Lujza, Bana Marcell, Biró 424 Ádám, Dobi Dorina Lili, Duska Máté, Egyházi Hanna, Féger Tamás, Fekete András Albert, Flódung Áron , Fórizs Botond, Gombos Gergely , Horváth 828 Mátyás, HyunBin Yoo, Kadem Aziz, Kelemen Anna, Kosóczki Balázs, Molnár Réka, Nácsa Dominik, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Rátki Gergely, Ruszinkó Zita, Schneider Anna, Szabó András József , Szalanics Tamás, Téglás Panna, Varga 601 Zalán, Xu Yiling, Zaránd Andris.
4 pontot kapott:	Csongor 123 Réz.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai