 |
A C. 1657. feladat (2021. február) |
C. 1657. Az ABC derékszögű háromszög BC és CA befogóira kifelé a BCD és CAE szabályos háromszögeket rajzoljuk. Bizonyítsuk be, hogy az AB, CD és CE szakaszok felezőpontjai szabályos háromszöget alkotnak.
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. A feladat feltételeinek megfelelő ábrát készítünk, amelyen az AB,CD,CE, valamint BC,CA oldalak felezőpontjait rendre F,G,H,K,L betűkkel jelöltük.
A BC=a és CA=b jelöléssel
| (1) | FL=a2;FK=b2, |
hiszen FL és FK az ABC háromszög középvonalai. A BCD egy a oldalú szabályos háromszög, amelynek KG a középvonala, CAE pedig egy b oldalú szabályos háromszög, amelynek LH a középvonala. Ebből az következik, hogy
| (2) | KG=a2;LH=b2. |
Mivel FK merőleges BC-re és FL merőleges CA-ra, továbbá nyilvánvaló, hogy CKG és CLH szabályos háromszögek, ezért
| (3) | FKG∢=150∘;FLH∢=150∘. |
Az (1), (2) és (3) összefüggések együttesen azt jelentik, hogy az FKG és HLF háromszögek egybevágók, és ezért FG=FH.
A két háromszög egybevágósága a megfelelő szögek egyenlőségét is jelenti, így
KFG∢=LHF∢=φ;KGF∢=LFH∢=γ.
Ugyanakkor (3) miatt φ+γ=30∘.
Az FL és FK szakaszok merőlegesek egymásra, azaz KFL∢=φ+γ+GFH∢=90∘, ezzel
GFH∢=60∘.
Ezért az FG=FH egyenlőség miatt FGH olyan egyenlő szárú háromszög, amelyben a szárak 60∘-os szöget zárnak be, ez pedig azt jelenti, hogy FGH szabályos háromszög. Ezzel a feladat állítását beláttuk.
Megjegyzés.
A bizonyítás során kapott összefüggések és a feladat állítása akkor is érvényes, ha ABC egyenlő szárú, derékszögű háromszög. Ekkor az FKG és HLF háromszögek egybevágó, egyenlő szárú háromszögek.
2. megoldás. Elhelyezzük az ABC háromszöget a derékszögű koordináta rendszerben úgy, hogy a C pont az origóba, az A és B pontok rendre az x, illetve az y tengelyre illeszkednek. Az A és B pontok koordinátái legyenek az alábbi ábra szerint:
A(a;0),B(0;b).
A választott elhelyezés, továbbá a feltételek miatt könnyen beláthatjuk, hogy a D és E pontok koordinátái:
D(−b2⋅√3;b2),E(a2;−a2⋅√3).
Ebből az következik, hogy az ábra →FD=→d és →FE=→e vektorainak koordinátái:
| (1) | →d(−b2⋅√3−a2;0);→e(0;−a2⋅√3−b2). |
A vektorösszeadás szabálya szerint →f+→d=→CD és →f+→e=→CE, így, mivel G, illetve H a CD, illetve CE oldalak felezőpontja, ezért a →CG=→g és →CH=→h vektorokra teljesül, hogy:
→g=12⋅(→f+→d),→h=12⋅(→f+→e).
Az →FG és →FH vektorokat kifejezhetjük az →f,→g,→h vektorokkal:
→FG=→g−→f,→FH=→h−→f,
ebből az előző eredmények segítségével:
| (2) | →FG=12⋅(→d−→f),→FH=12⋅(→e−→f). |
Ez
→f(a2;b2)
ismeretében azt jelenti, hogy ezeknek a vektoroknak kiszámíthatjuk a koordinátáit:
→FG(−b4⋅√3−a2;−b4)
és
→FH(−a4;−a4⋅√3−b2).
Ebből mindkét vektor hosszára ugyanazt az értéket kapjuk:
| (3) | |→FG|=|→FH|=√a2+b2+ab⋅√32. |
A (3) eredmény szerint a két vektor hossza, vagyis az FG,FH szakaszok hossza egyenlő. Kiszámítjuk az →FG és →FH vektorok skaláris szorzatát egyrészt a skaláris szorzat definíciója szerint, másrészt a vektorok megfelelő koordinátái szorzatának összegeként. Eszerint:
→FG⋅→FH=a2+b2+ab⋅√34⋅cosφ,
ahol φ a két vektor iránya által bezárt szög. Ugyanakkor
→FG⋅→FH=(−b4⋅√3−a2)⋅(−a4)+(−b4)⋅(−a4⋅√3−b2),
ahonnan a műveletek elvégzése után azt kapjuk, hogy
→FG⋅→FH=a2+b2+ab⋅√38.
Mivel a két vektor skaláris szorzatára kapott kétféle eredmény egyenlő kell legyen, ezért
cosφ=12,
ebből pedig φ=60∘ adódik. Az FG és FH szakaszok hossza tehát egyenlő és a két szakasz 60∘-os szöget zár be, ez csakis úgy lehetséges, ha FGH szabályos háromszög. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
Statisztika:
27 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Albert Ákos, Andó Lujza, Bakonyi Blanka, Biró 424 Ádám, Dobi Dorina Lili, Egyházi Hanna, Féger Tamás, Fekete András Albert, Flódung Áron , Gombos Gergely , Horváth 828 Mátyás, Horváth Antal, Kadem Aziz, Kosóczki Balázs, Molnár Réka, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Ruszinkó Zita, Schneider Anna, Szabó András József , Szalanics Tamás, Turai Johanna, Varga 601 Zalán, Varga 928 Péter, Zaránd Andris. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2021. februári matematika feladatai
|
|