 |
A C. 1658. feladat (2021. március) |
C. 1658. Egy körlapot felosztunk hat egybevágó körcikkre. Mindegyikbe beleírunk egy kört, mely érinti a körcikk határoló ívét és két sugarát. A hat kör együttes területe az eredeti kör területének hányadrészét fedi le?
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. április 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle l\) körlap sugara \(\displaystyle R\). Így a hat egybevágó körcikk mindegyike egy-egy \(\displaystyle R\) sugarú, \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os középponti szögű körcikk. Egy ilyen körcikkbe írt és a feltételeknek megfelelő kör sugara legyen \(\displaystyle r\), egy ilyen kör területét fogjuk kiszámítani. Ehhez tekintsük a következő ábrát.
Az \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle K\) középpontú \(\displaystyle k\) kör az \(\displaystyle OAB\) körcikk \(\displaystyle OB, OA\) sugarait rendre a \(\displaystyle C, D\) pontban, az \(\displaystyle AB\) ívet az \(\displaystyle E\) pontban érinti. A \(\displaystyle KCO\) és \(\displaystyle KDO\) egybevágó derékszögű háromszögek, amelyekben \(\displaystyle KOC\sphericalangle=KOD\sphericalangle=30^{\circ}\), emiatt mindkét háromszögben a \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os szöggel szemben levő befogó fele a közös \(\displaystyle KO\) átfogónak, amelyből \(\displaystyle KO=2r\) következik. Mivel \(\displaystyle KE=r\) is igaz, ezért azt kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle OE=R=3r.\) |
Eszerint az \(\displaystyle l\) körlap \(\displaystyle T\) területe \(\displaystyle T=R^2\pi\) és a hat kis körlap \(\displaystyle t\) együttes területe \(\displaystyle t=6r^2\pi\).
Ugyanakkor (1) felhasználásával \(\displaystyle T=9r^2\pi\), így \(\displaystyle t\) és \(\displaystyle T\) aránya:
\(\displaystyle \frac{t}{T}=\frac{6r^2\pi}{9r^2\pi},\)
amelyből egyszerűsítés után
\(\displaystyle \frac{t}{T}=\frac{2}{3},\)
tehát a hat kis kör együttesen az \(\displaystyle l\) kör területének pontosan a kétharmad részét fedi le.
Statisztika:
134 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 71 versenyző. 4 pontot kapott: 28 versenyző. 3 pontot kapott: 17 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2021. márciusi matematika feladatai