A C. 1659. feladat (2021. március)

C. 1659. Az $\displaystyle AB$ szakasz $\displaystyle A$ pontjából induló $\displaystyle a$ félegyenes a szakasszal $\displaystyle 0^\circ< \alpha<90^{\circ}$-os, a $\displaystyle B$-ből induló $\displaystyle b$ félegyenes pedig $\displaystyle 0^\circ<\beta<90^{\circ}$-os szöget zár be. A két félegyenes az $\displaystyle AB$ egyenese által meghatározott két különböző félsíkban helyezkedik el. Az $\displaystyle AB$ átmérőjű kör az $\displaystyle a$-t $\displaystyle A_1$-ben, a $\displaystyle b$-t pedig $\displaystyle B_1$-ben metszi másodszor. Az $\displaystyle A_1B_1$ átmérőjű kör az $\displaystyle a$-ra illeszkedő egyenest $\displaystyle A_2$-ben, a $\displaystyle b$-re illeszkedő egyenest pedig $\displaystyle B_2$-ben metszi másodszor. Milyen összefüggés van $\displaystyle \alpha$ és $\displaystyle \beta$ között, ha $\displaystyle A_1B_1$ és $\displaystyle A_2B_2$ merőlegesek?

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük a következő ábrát, amelyen az $\displaystyle AB$ átmérőjű $\displaystyle C$ középpontú kört $\displaystyle k_1$-gyel, az $\displaystyle A_1B_1$ átmérőjű $\displaystyle D$ középpontú kört $\displaystyle k_2$-vel jelöltük.

A $\displaystyle k_1$ körben az $\displaystyle A_1B$ húr az $\displaystyle A$ pontból $\displaystyle \alpha$ szög alatt látszik, ennek a húrnak a $\displaystyle B_1$ pontból mért látószöge a kerületi szögek tétele szerint ugyancsak $\displaystyle \alpha$. Ebből az is következik, hogy $\displaystyle B_2B_1A_1\sphericalangle=\alpha$ is igaz, de akkor a $\displaystyle k_2$ körben a kerületi szögek tétele miatt fennáll, hogy

$\displaystyle B_2A_2A_1\sphericalangle=\alpha.$

Ez azt jelenti, hogy a $\displaystyle B_2A_2A_1\sphericalangle$ és $\displaystyle BAA_1\sphericalangle$ egyenlő nagyságú szögek, melyeknek egyik szára ugyanazon az egyenesen van, ezért a másik két száruknak párhuzamosnak kell lenni, azaz

Ezért, ha a feltétel alapján $\displaystyle A_1B_1$ merőleges $\displaystyle A_2B_2$-re, akkor (1) szerint $\displaystyle A_1B_1\perp{AB}$ is igaz.

Az $\displaystyle A_1B_1$ szakasz tehát a $\displaystyle k_1$ körnek az $\displaystyle AB$ átmérőre merőleges húrja, ezért az $\displaystyle A_1B_1$ szakasz $\displaystyle D$ felezőpontja az $\displaystyle AB$ egyenesen van. Ebből következik, hogy a $\displaystyle B_1BD$ olyan derékszögű háromszög, amelyben egyrészt $\displaystyle B_1BD\sphericalangle=\beta$, másrészt $\displaystyle B_2B_1A_1\sphericalangle=\alpha$ alapján $\displaystyle BB_1D\sphericalangle=\alpha$ teljesül, azaz

$\displaystyle \alpha+\beta=90^{\circ}.$

Tehát ha a feladatban megadott feltételek mellett $\displaystyle A_1B_1\perp{A_2B_2}$, akkor az $\displaystyle \alpha$ és $\displaystyle \beta$ szögek összege egy derékszöggel egyenlő.

Megjegyzések.

1) Ha $\displaystyle \alpha$ és $\displaystyle \beta$ a feltételnek megfelelő hegyesszögek, akkor a feladatban szereplő $\displaystyle A_1, B_1, A_2, B_2$ pontok mindegyike létrejön.

2) A feladat feltételei akkor is teljesülnek, ha $\displaystyle \alpha=\beta=45^{\circ}$. Ekkor az $\displaystyle A_1$ és $\displaystyle B_1$ pontok létrejönnek, és mivel az $\displaystyle ABA_1$ és $\displaystyle ABB_1$ egyenlő szárú derékszögű háromszögek, ezért $\displaystyle A_1B_1$ merőlegesen felezi $\displaystyle AB$-t, vagyis a $\displaystyle C, D$ pontok azonosak, tehát a $\displaystyle k_1, k_2$ körök is egybeesnek. Ennek az a következménye, hogy az $\displaystyle A_2, B_2$ pontok is létrejönnek, mégpedig úgy, hogy $\displaystyle A=A_2$ és $\displaystyle B=B_2$, azaz valóban fennáll a feladat $\displaystyle A_1B_1\perp{A_2B_2}$ feltétele. Ekkor nyilvánvaló, hogy a teljesül megoldásban kapott $\displaystyle \alpha+\beta=90^{\circ}$ összefüggés is.

Statisztika:

71 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Antal Sára, Barát Benedek, Besze Zsolt, Bettesch Helga Adél, Borsos Balázs, Böröczky András Bálint, Cynolter Dorottya, Deák Gergely, Fehérvári Donát, Gecseg Bence, Győrffy Nándor, Halász Henrik, Herendi Réka, Horváth Milán, Hosszu Noel, Iványi Zsolt, Keresztes Alex Zsolt, Keszthelyi Eszter, Kiss 625 Dóra, Kovács Benedek Noel, Lőrincz László Lénárd, Lőw László, Murai Dóra Eszter, Novák Zalán Zoltán, Patricia Janecsko, Pekk Márton, Radzik Réka, Schneider Dávid, Szabó Viktória, Szabó Zóra, Szakács Domonkos, Szirmai Flóra, Szirtes Hanna, Tóth Gréta, Vincze Farkas Csongor, Werner Kinga, Wrana Gergő.
4 pontot kapott:	Csáki Borbála, Csilling Dániel, Fekete Patrik, Foris Dávid, Han Ziying, Kurucz Márton, Petrányi Lilla, Simon 456 Dániel, Sipeki Márton, Szabó 423 Ágnes, Szabó Réka, Tomesz László Gergő, Waldhauser Miklós.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. márciusi matematika feladatai