A C. 1661. feladat (2021. március) |
C. 1661. Lottó Ottó, aki retteg a csökkenéstől, hagyományos lottót játszik. Itt 90 számból húznak ki öt számot. Ottó csak a következő feltételeknek eleget tevő számötöst jelöli be: az öt szám számjegyeit tekintve egy számjegy csak maximum egyszer szerepelhet, illetve miután leírta egymás mellé az öt számot növekvő sorrendben, a számjegyeknek is növekednie kell. Pl. 1, 2, 3, 46, 78. Hány, a feltételeknek megfelelő számötös létezik?
Javasolta: Berkó Erzsébet (Szolnok)
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. április 12-én LEJÁRT.
Megoldás. A feltételek teljesüléséhez az szükséges, hogy a számok növekvő sorrendjében a számjegyeknek is növekednie kell, a fenti példában például 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 a számjegyek kérdéses sorrendje. Világos, hogy a jegyek között nem szerepelhet a 0, és az is, hogy a jegyek száma legalább öt és legfeljebb kilenc.
Megfordítva, ha vesszük az 1−9 számjegyek közül k darabnak egy növekvő sorozatát, az egyértelműen meghatároz egy megfelelő számötöst. Ugyanis, mivel egyjegyű és kétjegyű számok szerepelhetnek, pontosan (k−5) darab kétjegyű kell legyen közöttük, amelyeknek – hogy növekvő sorrendet kapjunk – a végén kell szerepelniük. (Vagyis ha a számjegyek sorozata a1<a2<⋯<ak, akkor a kihúzott számok a1,…,a10−k,¯a11−ka12−k,…,¯ak−1ak, ahol k=6 esetén a két felülvonásos szám megegyezik és csak egy kétjegyű szám van.)
A 9 számjegy közül k különbözőt \displaystyle \binom{9}{k}-féleképpen válszthatunk ki, és a korábbiak alapján \displaystyle 5\leq k\leq 9 esetén ez már meghatározza a számötöst. Így a feltételeknek megfelelő számötösök száma:
\displaystyle \binom{9}{5}+\binom{9}{6}+\binom{9}{7}+\binom{9}{8}+\binom{9}{9}=126+84+36+9+1=256.
Megjegyzés. A megoldás végén számolás helyett úgy is érvelhetünk, hogy a 9 számjegyből álló halmaznak \displaystyle 2^9=512 részhalmaza van, és ezeknek pontosan a fele, vagyis 256 megfelelő, hiszen egy részhalmaz és a komplementere közül mindig pontosan az egyiknek lesz legalább öt eleme.
Statisztika:
161 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 107 versenyző. 4 pontot kapott: 12 versenyző. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 12 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 8 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 3 dolgozat.
A KöMaL 2021. márciusi matematika feladatai