A C. 1664. feladat (2021. március)

C. 1664. Az $\displaystyle ABCDEF$ konvex hatszög $\displaystyle AD$, $\displaystyle BE$, $\displaystyle CF$ átlóinak mindegyike felezi a hatszög területét. Bizonyítsuk be, hogy ezek az átlók egy pontban metszik egymást.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Indirekt módon bizonyítunk, vagyis föltesszük, hogy az $\displaystyle AD$, $\displaystyle BE$, $\displaystyle CF$ átlók nem metszik egymást egy pontban. A feltevés miatt az átlók az $\displaystyle MNO$ háromszöget zárják közre.

Az átlók területfelező tulajdonsága alapján felírható, hogy:

$\displaystyle T_{CDMB}+T_{ABM}=T_{AFEM}+T_{DEM}$

és

$\displaystyle T_{CDMB}+T_{DEM}=T_{AFEM}+T_{ABM}.$

A két egyenlet megfelelő oldalait egymásból kivonva azt kapjuk, hogy $\displaystyle T_{ABM}-T_{DEM}=T_{DEM}-T_{ABM}$, ebből azonnal következik, hogy a $\displaystyle DEM$ és $\displaystyle ABM$ háromszögek területe egyenlő.

A két háromszög kétszeres területére az ábra jelöléseivel felírhatjuk, hogy:

$\displaystyle {AM}\cdot{BM}\cdot\sin\varphi={DM}\cdot{EM}\cdot\sin{\varphi},$

ahonnan (mivel $\displaystyle \sin{\varphi}\neq0$):

$\displaystyle {AM}\cdot{BM}={DM}\cdot{EM}.$

Ebből azt kapjuk, hogy $\displaystyle {AM}\cdot{BM}=({DN+NM})\cdot({EO+OM})>DN\cdot{EO}$.

Hasonló módon adódnak a $\displaystyle {CN}\cdot{DN}>{FO}\cdot{AM}$ és $\displaystyle {EO}\cdot{FO}>{BM}\cdot{CN}$ egyenlőtlenségek.

A három egyenlőtlenség megfelelő oldalait összeszorozva az

$\displaystyle {AM}\cdot{BM}\cdot{CN}\cdot{DN}\cdot{EO}\cdot{FO}>{DN}\cdot{EO}\cdot{FO}\cdot{AM}\cdot{BM}\cdot{CN}$

egyenlőtlenség adódik, amely nyilvánvalóan nem teljesülhet, hiszen a két oldal megegyezik.

Indirekt feltevésünk tehát hibás volt, ezért a hatszög átlói valóban egy ponton mennek át.

Megjegyzés.

Ha a feladat feltételei teljesülnek, akkor az $\displaystyle EABD$, $\displaystyle FBCE$ és $\displaystyle ACDF$ négyszögek trapézok.

Statisztika:

19 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Dobi Dorina Lili, Féger Tamás, Fekete András Albert, Molnár Réka, Németh László Csaba, Szalanics Tamás, Szirmai Dénes, Varga 601 Zalán.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. márciusi matematika feladatai